As questões 8. a 10. são referentes à equação diferencial y^prime prime-2 y^prime+2 y=0. y1 e y2 são suas soluções linearmente independentes e y=C1 y1+ C2 y2 é sua solução geral, para C1 e C2 constantes.
Sejam y(0)=0 e y^prime(0)=2 suas condições iniciais, qual é o valor de C1+C2 ?
(a) 1
(b) 2
© -1
(d) 0
(e) NDA

Passo 1

Neste exercício, a gente tem a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+2y=0
e as condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=2
Queremos achar a solução geral
y=C1y1+C2y2
e, em particular, determinar o valor de C1+C2.

Passo 2

Para resolver, montamos a equação característica associada à EDO:
r^2-2r+2=0
Essa é uma equação de segundo grau cujas raízes são dadas por
r=2pmraiz(-2)^2-4cdot1cdot22=2pmraiz4-82=1pm i

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas 1pm i, a solução geral real é
y(t)=e^tl(C1cos t+C2sin tr)

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais. Primeiro, em t=0:
y(0)=e^0l(C1cos0+C2sin0r)=C1=0
Logo C1=0.

Passo 5

Em seguida, calculamos y'(t). Usando derivada de e^tcos t e e^tsin t, obtemos:
y'(t)=e^tl(C1(cos t-sin t)+C2(sin t+cos t)r)
Em t=0:
y'(0)=C1(1-0)+C2(0+1)=C1+C2=2
Mas já vimos que C1=0, portanto C2=2.

Passo 6

Finalmente, o que a questão pede é o valor de C1+C2. Substituindo:
C1+C2=0+2=2

Resposta

2

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