Nos Problemas 17 e 18 determine constantes reais a, b, c e d de modo que a função dada seja inteira.
f(z)=x^2+a x y+b y^2+i(c x^2+d x y+y^2)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y)
com
u(x,y)=x^2+a,x,y+b,y^2, v(x,y)=c,x^2+d,x,y+y^2,
e pede a,b,c,dinR tais que f seja inteira (holomorfa em todo C).
Para isso vamos usar as equações de Cauchy–Riemann:
ux = vy e uy = -,vx

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de u e v:
ux = partialpartial x(x^2+a,x,y+b,y^2) = 2x + a,y,
uy = partialpartial y(x^2+a,x,y+b,y^2) = a,x + 2b,y,
vx = partialpartial x(c,x^2+d,x,y+y^2) = 2c,x + d,y,
vy = partialpartial y(c,x^2+d,x,y+y^2) = d,x + 2,y

Passo 3

Impondo Cauchy–Riemann:
  1. ux = vy
2x + a,y = d,x + 2,y
para todo x,y, logo comparando coeficientes obtém-se
2 = d e a = 2
  1. uy = -,vx
a,x + 2b,y = -l(2c,x + d,yr)
para todo x,y, logo
a = -,2c e 2b = -,d

Passo 4

Substituindo a=2 e d=2 nas últimas igualdades:
2 = -,2c implies c = -1,
2b = -2 implies b = -1

Resposta

a = 2, b = -1, c = -1, d = 2

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