Nos Problemas 19-22 (a) mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s), e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função na curva.
f(z)=x^2+y^2+2 i x y; eixo x

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(z)=x^2+y^2+2i,x,y,
com z=x+iy, que a gente mostre que (a) ela não é analítica em nenhum ponto do plano, mas que é diferenciável ao longo do eixo x, e (b) use a fórmula de derivada (por exemplo a identidade
f'(z)=ux+i,vx) para obter a derivado nessa curva.
Aqui o conteúdo é aplicação das condições de Cauchy–Riemann para verificar analiticidade e depois cálculo de derivada restrita ao eixo x.

Passo 2

Escrevemos f em partes real e imaginária:
u(x,y)=x^2+y^2, v(x,y)=2xy
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
ux=2x, uy=2y, vx=2y, vy=2x

Passo 3

As condições de Cauchy–Riemann são
ux=vy e uy=-,vx
Aqui vemos
ux=vy;Longrightarrow;2x=2x(sempre),
uy=-,vx;Longrightarrow;2y=-2y;Longrightarrow;y=0
Logo, só na reta y=0 (eixo x) temos ambas satisfeitas.

Passo 4

Para ser analítica num ponto, f precisa satisfazer Cauchy–Riemann num vizinhança aberta. Como y=0 é só uma reta (sem vizinhança em duas dimensões), não existe região aberta onde as condições valham em volta de um ponto. Portanto f não é analítica em nenhum ponto. Mas ao longo da reta y=0, as CR valem, o que garante que f é diferenciável como função de z ao longo do eixo x.

Passo 5

Na reta y=0 podemos usar a fórmula
f'(z)=ux+i,vx
Substituindo y=0 temos
ux=2x, vx=2y=0,
logo
f'(x)=2x+icdot 0=2x
Em alternativa, note que ao longo do eixo x f(x)=x^2, e a derivada real é 2x.

Resposta

A função não é analítica em nenhum ponto do plano, mas é diferenciável ao longo do reta y=0. Nessa curva a derivada é
f'(x)=2x

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