Nos Problemas 19-22 (a) mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s), e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função na curva.
; eixo
Passo 1
O enunciado pede para a função
com
, que a gente mostre que (a) ela não é analítica em nenhum ponto do plano, mas que é diferenciável ao longo do eixo
, e (b) use a fórmula de derivada (por exemplo a identidade
) para obter a derivado nessa curva.
Aqui o conteúdo é aplicação das condições de Cauchy–Riemann para verificar analiticidade e depois cálculo de derivada restrita ao eixo .
Aqui o conteúdo é aplicação das condições de Cauchy–Riemann para verificar analiticidade e depois cálculo de derivada restrita ao eixo
Passo 2
Escrevemos
em partes real e imaginária:
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
Passo 3
As condições de Cauchy–Riemann são
Aqui vemos
Logo, só na reta
(eixo
) temos ambas satisfeitas.
Passo 4
Para ser analítica num ponto,
precisa satisfazer Cauchy–Riemann num vizinhança aberta. Como
é só uma reta (sem vizinhança em duas dimensões), não existe região aberta onde as condições valham em volta de um ponto. Portanto
não é analítica em nenhum ponto. Mas ao longo da reta
, as CR valem, o que garante que
é diferenciável como função de
ao longo do eixo
.
Passo 5
Na reta
podemos usar a fórmula
Substituindo
temos
logo
Em alternativa, note que ao longo do eixo
, e a derivada real é
.
Resposta
A função não é analítica em nenhum ponto do plano, mas é diferenciável ao longo do reta
. Nessa curva a derivada é