Nos Problemas 19-22 (a) mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s), e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função na curva.
; eixos coordenados
Passo 1
O enunciado dá a função
onde
, e pede em (a) mostrar que
não é analítica em nenhum ponto do plano, mas é diferenciável ao longo dos eixos coordenados; e em (b) usar a fórmula apropriada (por exemplo, a expressão da derivada via derivadas parciais quando as condições de Cauchy–Riemann valem) para calcular
nesses eixos.
Passo 2
Escrevemos
As equações de Cauchy–Riemann são
Calculamos as derivadas parciais:
Logo
Para ambas as combinações serem zero precisamos de
ou seja,
ou
. Assim, as condições de Cauchy–Riemann só valem nos eixos coordenados. Em quaisquer outros pontos
não satisfaz essas condições e, portanto, não é analítica em nenhum ponto fora dos eixos.
Passo 3
Como as condições de Cauchy–Riemann são satisfeitas exatamente quando
(eixo imaginário) ou
(eixo real), concluímos que
é diferenciável apenas ao longo desses dois eixos.
Passo 4
Quando as condições de Cauchy–Riemann valem, a derivada complexa é
Mas ao longo dos eixos temos
ou
, e em ambos os casos
Logo
tanto no eixo real (onde
) quanto no eixo imaginário (onde
).
Resposta
Em qualquer ponto fora dos eixos
não é analítica. Ao longo dos eixos,
é diferenciável e sua derivada é