Nos Problemas 19-22 (a) mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s), e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função na curva.
f(z)=3 x^2 y^2-6 i x^2 y^2; eixos coordenados

Passo 1

O enunciado dá a função
f(z)=3x^2y^2-6,i,x^2y^2,
onde z=x+iy, e pede em (a) mostrar que f não é analítica em nenhum ponto do plano, mas é diferenciável ao longo dos eixos coordenados; e em (b) usar a fórmula apropriada (por exemplo, a expressão da derivada via derivadas parciais quando as condições de Cauchy–Riemann valem) para calcular f' nesses eixos.

Passo 2

Escrevemos
u(x,y)=3x^2y^2, v(x,y)=-6x^2y^2
As equações de Cauchy–Riemann são
ux = vy e uy = -,vx
Calculamos as derivadas parciais:
ux =6xy^2, uy=6x^2y,
vx=-12xy^2, vy=-12x^2y
Logo
ux - vy =6xy^2-(-12x^2y)=6xy^2+12x^2y,
uy + vx =6x^2y+(-12xy^2)=6x^2y-12xy^2
Para ambas as combinações serem zero precisamos de
x,y^2=0 e x^2y=0,
ou seja, x=0 ou y=0. Assim, as condições de Cauchy–Riemann só valem nos eixos coordenados. Em quaisquer outros pontos f não satisfaz essas condições e, portanto, não é analítica em nenhum ponto fora dos eixos.

Passo 3

Como as condições de Cauchy–Riemann são satisfeitas exatamente quando x=0 (eixo imaginário) ou y=0 (eixo real), concluímos que f é diferenciável apenas ao longo desses dois eixos.

Passo 4

Quando as condições de Cauchy–Riemann valem, a derivada complexa é
f'(z)=ux+i,vx
Mas ao longo dos eixos temos x=0 ou y=0, e em ambos os casos
ux=6xy^2=0, vx=-12xy^2=0
Logo
f'(z)=0 + icdot0=0
tanto no eixo real (onde y=0) quanto no eixo imaginário (onde x=0).

Resposta

Em qualquer ponto fora dos eixos f não é analítica. Ao longo dos eixos, f é diferenciável e sua derivada é
f'(z)=0

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