Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos Omega subset R times R=R^2 (plano real):
Omega= região dos pontos (x, y) do plano tais que 1 >= y-x >=-1

Passo 1

O enunciado define a relação binária R sobre R por
(x,y)in R Long<=ftrightarrow 1 >= y - x >= -1,
ou seja, lvert y - xrvert <= 1. Vamos verificar se R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Passo 2

Para a reflexividade, precisamos ver se todo xinR satisfaz (x,x)in R. Como
y - x = x - x = 0
e 0 está em [-1,1], segue que lvert x-xrvert = 0<=1. Logo, R é reflexiva.

Passo 3

Para a simetria, partimos de (x,y)in R, isto é, lvert y-xrvert <=1. Mas
lvert x-yrvert = lvert y-xrvert <=1,
logo (y,x)in R. Portanto, R é simétrica.

Passo 4

Para a transitividade, supomos (x,y)in R e (y,z)in R. Então
y-xin[-1,1] e z-yin[-1,1]
Isto não garante z-xin[-1,1], pois
z-x=(z-y)+(y-x)
pode chegar a 2. Por exemplo, tome x=0, y=1, z=2. Temos
lvert y-xrvert=1<=1 e lvert z-yrvert=1<=1, mas
lvert z-xrvert=2>1, de modo que (x,z)notin R. Assim, R não é transitiva.

Resposta

A relação é reflexiva, simétrica e não transitiva.

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