Teste a validade das propriedades reflexiva, simétrica e transitiva para as relações binárias definidas através dos seguintes subconjuntos
(plano real):
região dos pontos
do plano tais que
Passo 1
O enunciado define a relação binária
sobre
por
ou seja,
. Vamos verificar se
é reflexiva, simétrica e transitiva.
Passo 2
Para a reflexividade, precisamos ver se todo
satisfaz
. Como
e
está em
, segue que
. Logo,
é reflexiva.
Passo 3
Para a simetria, partimos de
, isto é,
. Mas
logo
. Portanto,
é simétrica.
Passo 4
Para a transitividade, supomos
e
. Então
Isto não garante
, pois
pode chegar a
. Por exemplo, tome
,
,
. Temos
e
, mas
, de modo que
. Assim,
não é transitiva.
Resposta
A relação é reflexiva, simétrica e não transitiva.