Uma relação
entre pares de elementos de um conjunto
diz-se uma relação de ordem parcial em
se:
(i)
(ii)
e
(iii)
e
Uma relação de ordem parcial diz-se total ou linear se (iv)
, tem-se
ou
.
Prove que:
a)
é não negativo, define uma relação de ordem total no conjunto
.
b) Se
é o conjunto de todas as funções reais
. Então:
define uma relação de ordem parcial em
que não é total em
.
(i)
(ii)
(iii)
Prove que:
a)
b) Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar as propriedades de relação de ordem no caso
- (a) em
, definindo
e mostrar ainda que essa ordem é total.
- (b) em
, definindo
e provar que isso é ordem parcial mas não é total.
Vamos usar os axiomas de ordem (reflexividade, antissimetria, transitividade) e a definição de totalidade.
Vamos usar os axiomas de ordem (reflexividade, antissimetria, transitividade) e a definição de totalidade.
Passo 2
Parte (a): verificando que
em
é relação de ordem parcial**
- Reflexividade: para todo
- Antissimetria: se
e então
Somando as duas desigualdades
mas cada parcela é
, só pode ocorrer se
, ou seja
.
3. Transitividade: se e
então
3. Transitividade: se
logo
.
Passo 3
Parte (a): mostrando que a ordem em
é total
Para quaisquer , ou
ou não. Se não, como a diferença é inteiro, tem-se
, logo
, ou seja
. Portanto em todo par
ou
ou
, caracterizando ordem total.
Para quaisquer
Passo 4
Parte (b): verificando que
em
é relação de ordem parcial**
- Reflexividade: para toda função
, temos em cada , logo . - Antissimetria: se
e então para todo
Logo
.
3. Transitividade: se e
então para todo
3. Transitividade: se
ou seja
.
Passo 5
Parte (b): mostrando que a relação não é total
Basta dar um contra-exemplo de duas funções não comparáveis. Defina
Basta dar um contra-exemplo de duas funções não comparáveis. Defina
Para
temos
, logo não vale
.
Para temos
, logo não vale
.
Assim não ocorre comparabilidade em todo par de funções, e portanto não é ordem total.
Para
Assim não ocorre comparabilidade em todo par de funções, e portanto não é ordem total.
Resposta
a) A relação em
é de ordem total.
b) A relação em é de ordem parcial, mas não é total.
b) A relação em