Uma relação <= entre pares de elementos de um conjunto A diz-se uma relação de ordem parcial em A se:
(i) x <= x forall x in R
(ii) x <= y e y <= x Rightarrow x=y forall x, y in A
(iii) x <= y e y <= z Rightarrow x <= z forall x, y, z in A
Uma relação de ordem parcial diz-se total ou linear se (iv) forall x, y in A, tem-se x <= y ou y <= x.
Prove que:
a) x <= y Leftrightarrow(y-x) é não negativo, define uma relação de ordem total no conjunto Z.
b) Se A=mathscrF(R) é o conjunto de todas as funções reais f: R R. Então:
f <= g Leftrightarrow f(x) <= g(x) forall x in R
define uma relação de ordem parcial em A que não é total em A.

Passo 1

O enunciado pede para verificar as propriedades de relação de ordem no caso
  • (a) em Z, definindo
x <= y Leftrightarrow y - x >= 0,
e mostrar ainda que essa ordem é total.
  • (b) em A=mathscr F(R), definindo
f <= g Leftrightarrow f(x)<= g(x);forall xinR,
e provar que isso é ordem parcial mas não é total.
Vamos usar os axiomas de ordem (reflexividade, antissimetria, transitividade) e a definição de totalidade.

Passo 2

Parte (a): verificando que <= em Z é relação de ordem parcial**
  1. Reflexividade: para todo xinZ
x - x = 0 >= 0 Longrightarrow x <= x
  1. Antissimetria: se x<= y e y<= x então
y - x >= 0 e x - y >= 0
Somando as duas desigualdades
(y-x) + (x-y) = 0,
mas cada parcela é >=0, só pode ocorrer se y-x=0, ou seja x=y.
3. Transitividade: se x<= y e y<= z então
y - x >= 0 e z - y >= 0 ;Longrightarrow; (z - y)+(y - x) = z - x >= 0,
logo x <= z.

Passo 3

Parte (a): mostrando que a ordem em Z é total
Para quaisquer x,yinZ, ou y - x >= 0 ou não. Se não, como a diferença é inteiro, tem-se y - x < 0, logo -(y - x) = x - y > 0, ou seja x - y >= 0. Portanto em todo par (x,y) ou x<= y ou y<= x, caracterizando ordem total.

Passo 4

Parte (b): verificando que <= em mathscr F(R) é relação de ordem parcial**
  1. Reflexividade: para toda função f, temos f(x)<= f(x) em cada x, logo f<= f.
  2. Antissimetria: se f<= g e g<= f então para todo x
f(x)<= g(x) e g(x)<= f(x) ;Longrightarrow; f(x)=g(x)
Logo f=g.
3. Transitividade: se f<= g e g<= h então para todo x
f(x)<= g(x)<= h(x) ;Longrightarrow; f(x)<= h(x),
ou seja f<= h.

Passo 5

Parte (b): mostrando que a relação não é total
Basta dar um contra-exemplo de duas funções não comparáveis. Defina
f(x)=x, g(x)=-x
Para x=1 temos f(1)=1>-1=g(1), logo não vale f<= g.
Para x=-1 temos f(-1)=-1<1=g(-1), logo não vale g<= f.
Assim não ocorre comparabilidade em todo par de funções, e portanto não é ordem total.

Resposta

a) A relação em Z é de ordem total.
b) A relação em mathscr F(R) é de ordem parcial, mas não é total.

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