Nos problemas 17 a 30, encontre solução geral para equação diferencial usando algum método estudado em sala.
y^prime prime+y=sec (x) tan (x)

Passo 1

O problema pede para encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não-homogênea y''+y=sec(x)tan(x). O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e termo não-homogêneo f(x)=sec(x)tan(x), e vamos usar o método de variação de parâmetros para resolver.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a parte homogênea y''+y=0. A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo, a solução homogênea é
yh(x)=C1cos(x)+C2sin(x)

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros, tomamos as soluções fundamentais
y1(x)=cos(x), y2(x)=sin(x), W(x)=cos(x)&sin(x) -sin(x)&cos(x)=cos^2(x)+sin^2(x)=1

Passo 4

O método nos dá a fórmula do particular:
yp(x)=-y1(x)integraly2(x)f(x)W(x),dx + y2(x)integraly1(x)f(x)W(x),dx
Aqui f(x)=sec(x)tan(x). Calculamos primeiro as integrais:
I1=integral y2(x)f(x),dx=integralsin(x)sec(x)tan(x),dx=integralsin^2(x)cos^2(x),dx=integraltan^2(x),dx=integral(sec^2(x)-1),dx=tan(x)-x,

Passo 5

I2=integral y1(x)f(x),dx=integralcos(x)sec(x)tan(x),dx=integraltan(x),dx=-ln|cos(x)|

Passo 6

Substituindo em yp:
yp(x)=-cos(x)l(tan(x)-xr)+sin(x)l(-ln|cos(x)|r)=-sin(x)+xcos(x)-sin(x)ln|cos(x)|

Passo 7

Como -sin(x) faz parte da homogênea, podemos absorvê-lo nos constantes e escolher o particular simplificado
yp(x)=xcos(x)-sin(x)ln|cos(x)|

Passo 8

Finalmente, a solução geral é a soma de yh com yp.

Resposta

A solução geral é y(x)=C1cos(x)+C2sin(x)+xcos(x)-sin(x)ln|cos(x)|, onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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