Nos problemas 31 a 35, encontre a solução geral para cada equação diferencial, sabendo que y1 é uma solução da EDO linear homogênea associada a cada uma dessas EDOs.
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=4 x ln (x) ; y1=x

Passo 1

Vamos resolver a equação x^2y'' - x y' + y = 4x,ln(x), que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis. Sabemos que uma solução da homogênea associada é y1(x)=x. Vamos usar redução de ordem para achar a segunda solução homogênea e depois variação de parâmetros para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão dividindo tudo por x^2:
y'' - 1xy' + 1x^2y = 4xln(x)x^2 = 4ln(x)x
Aqui temos p(x)=-tfrac1x, q(x)=tfrac1x^2 e g(x)=tfrac4ln(x)x.

Passo 3

Como y1=x é solução da homogênea, buscamos y2=v(x),y1=v(x)x. A fórmula de redução de ordem diz que
v'(x)=e^-integral p(x)dxy1^2=e^-integral(-1/x)dxx^2=xx^2=1x

Passo 4

Integrando, v(x)=integral!tfrac1x,dx=ln(x). Logo
y2(x)=xln(x)

Passo 5

Agora aplicamos variação de parâmetros. Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas:
W=y1&y2y1'&y2'=x & xln(x)1 & 1+ln(x)=x(1+ln(x))-xln(x)=x

Passo 6

Definimos
u1'=-y2,gW=-xln(x)cdotl(4ln(x)/xr)x=-4ln(x)^2x,
u2'=y1,gW=xcdot(4ln(x)/x)x=4ln(x)x

Passo 7

Integramos para achar u1 e u2:
u1=-4integralln(x)^2xdx=-4cdot(ln(x))^33=-43(ln(x))^3,
u2=4integralln(x)xdx=4cdot(ln(x))^22=2(ln(x))^2

Passo 8

A solução particular fica
yp=u1y1+u2y2=-tfrac43(ln(x))^3cdot x+2(ln(x))^2cdot xln(x)=23,x(ln(x))^3

Passo 9

Por fim, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C1x+C2xln(x)+23x(ln(x))^3

Resposta

y(x)=C_{1}x+C_{2}x\ln(x)+\tfrac{2}{3}x(\ln(x))^{3}

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