Nos Problemas 1-18, use a Definição 7.1.1 para determinar Lf(t).
f(t)=e^-2 t-5

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a Definição 7.1. 1, isto é, a definição integral da transformada de Laplace, para calcular
Lf(t) quando
f(t)=e^-2t-5
Vamos precisar lembrar que, por definição,
Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt

Passo 2

Substituímos f(t) na integral:
Lf(t) =integral0^inftye^-st,e^-2t-5,dt

Passo 3

Reescrevendo o integrando, note que
e^-st,e^-2t-5=e^-5,e^-(s+2)t
Como e^-5 não depende de t, podemos fatorá-lo para fora da integral:
Lf(t) =e^-5integral0^inftye^-(s+2)t,dt

Passo 4

Usamos o resultado padrão
integral0^infty e^-a t , dt = 1a, Re(a) > 0
Aqui a = s + 2, portanto, desde que Re(s + 2) > 0 (i.e.\ Re(s) > -2),
integral0^infty e^-(s + 2) t , dt = 1s + 2

Passo 5

Substituindo de volta, obtemos
Lf(t) =e^-5,1s+2 =e^-5s+2,
com região de convergência Re(s)>-2.

Resposta

Le^-2t-5=e^-5s+2

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