Nos Problemas 19-22, calcule
integralC y d x+x d y na curva dada, de (0,0) a (1,1).
y=x^2

Passo 1

O problema pede para calcular a integral de linha da forma diferencial y,dx + x,dy ao longo da curva dada por y = x^2, que vai de (0,0) a (1,1). O conteúdo aqui é integrais de linha de formas diferenciais e vamos precisar parametrizar a curva.

Passo 2

Parametrizamos a curva usando x = t e y = t^2, com t variando de 0 até 1. Então calculamos as diferençiais:
dx = dt, dy = 2t,dt

Passo 3

Substituímos na integral original
integralC y,dx + x,dy = integral0^1 l(t^2cdot dt + tcdot(2t,dt)r) = integral0^1 (t^2 + 2t^2),dt = integral0^1 3t^2,dt

Passo 4

Agora basta integrar em relação a t:
integral0^1 3t^2,dt = 3 cdot t^33 |0^1 = 1

Resposta

1

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