Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série sumn=1^inftyl(1-cos(1/n)r) converge ou diverge. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries e vamos precisar usar a expansão de Taylor de cos x para valores pequenos de x e em seguida aplicar o teste de comparação com uma p-série.

Passo 2

A fórmula de Taylor de cos x em torno de x=0 é:
cos x = 1 - x^22 + O(x^4)
Da expansão acima, surge a desigualdade, válida para todo x:
1 - cos x <= tfracx^22

Passo 3

Substituindo x = 1/n nessa desigualdade, obtemos
0 <= 1 - cos(1/n) <= tfrac12n^2
Como a série sumn=1^infty tfrac12n^2 = tfrac12 sumn=1^infty tfrac1n^2 é convergente (p-série com p=2), pelo teste da comparação a série dada também converge.

Resposta

A série é convergente.

Exercícios relacionados