Nos Problemas 19-22 (a) mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s), e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função na curva.
Passo 1
O enunciado define
com
e pede:
(a) mostrar que não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável ao longo da curva
;
(b) usar a fórmula de derivada (por exemplo quando valem as equações de Cauchy–Riemann) para calcular
ao longo dessa curva.
(a) mostrar que
(b) usar a fórmula de derivada (por exemplo
Passo 2
Escrevemos as derivações parciais necessárias para as equações de Cauchy–Riemann:
Passo 3
As equações de Cauchy–Riemann exigem
Substituindo, temos
A segunda equação é sempre satisfeita, mas a primeira dá
Logo, as CR só valem na reta
, não em nenhum aberto. Assim
não é analítica (que exige CR num aberto), mas satisfaz CR ao longo de
, ou seja, é diferenciável apenas nessa curva.
Passo 4
Quando as CR valem num ponto, podemos usar
Como na curva
temos CR, basta avaliar
portanto ao longo de