Nos Problemas 19-22 (a) mostre que a função dada não é analítica em qualquer ponto, mas é diferenciável ao longo da(s) curva(s) indicada(s), e (b) use (9) ou (11) para calcular a derivada da função na curva.
f(z)=x^2-x+y+i(y^2-5 y-x) ; y=x+2

Passo 1

O enunciado define
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y),
com
u(x,y)=x^2-x+y, v(x,y)=y^2-5y-x,
e pede:
(a) mostrar que f não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável ao longo da curva y=x+2;
(b) usar a fórmula de derivada (por exemplo f'(z)=ux+i,vx quando valem as equações de Cauchy–Riemann) para calcular f' ao longo dessa curva.

Passo 2

Escrevemos as derivações parciais necessárias para as equações de Cauchy–Riemann:
ux = 2x-1, uy=1,
vx = -1, vy=2y-5

Passo 3

As equações de Cauchy–Riemann exigem
ux = vy e uy = -,vx
Substituindo, temos
2x-1 stackrel!=2y-5, 1 stackrel!=-(-1)=1
A segunda equação é sempre satisfeita, mas a primeira dá
2x-1=2y-5 ;Long<=ftrightarrow; y=x+2
Logo, as CR só valem na reta y=x+2, não em nenhum aberto. Assim f não é analítica (que exige CR num aberto), mas satisfaz CR ao longo de y=x+2, ou seja, é diferenciável apenas nessa curva.

Passo 4

Quando as CR valem num ponto, podemos usar
f'(z)=ux+i,vx
Como na curva y=x+2 temos CR, basta avaliar
ux=2x-1, vx=-1,
portanto ao longo de y=x+2
f'(z)=2x-1 + i,(-1) =2x-1 - i

Resposta

f não é analítica em nenhum ponto, mas é diferenciável na reta y=x+2, onde sua derivada é
f'(z)=2x-1 - i

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