Na Seção 2.1 definimos a função exponencial complexa
como
.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função exponencial complexa
satisfaz
. O conteúdo principal é diferenciabilidade em
e usaremos as equações de Cauchy–Riemann para concluir que
é holomorfa e obter sua derivada.
Passo 2
Escrevemos
e separamos parte real e imaginária de
:
onde
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Como
são contínuas,
é holomorfa em todo
.
Passo 5
Para uma função holomorfa
, vale
Substituindo,