Na Seção 2.1 definimos a função exponencial complexa f(z)=e^z como e^z=e^x cos y+i e^x sen y.
Mostre que f^prime(z)=f(z).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função exponencial complexa
f(z)=e^z=e^xcos y + i,e^xsin y
satisfaz f'(z)=f(z). O conteúdo principal é diferenciabilidade em C e usaremos as equações de Cauchy–Riemann para concluir que f é holomorfa e obter sua derivada.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy e separamos parte real e imaginária de f:
f(z)=u(x,y)+i,v(x,y),
onde
u(x,y)=e^xcos y,
v(x,y)=e^xsin y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v:
ux=partialpartial x(e^xcos y)=e^xcos y, uy=partialpartial y(e^xcos y)=-e^xsin y,
vx=partialpartial x(e^xsin y)=e^xsin y, vy=partialpartial y(e^xsin y)=e^xcos y

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
ux = e^xcos y = vy, uy = -e^xsin y = -vx
Como ux,uy,vx,vy são contínuas, f é holomorfa em todo C.

Passo 5

Para uma função holomorfa f, vale
f'(z)=ux + i,vx
Substituindo,
f'(z)=e^xcos y + i,e^xsin y = e^x(cos y + isin y)=e^x+iy=e^z=f(z)

Resposta

f'(z)=e^z

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