Nos Problemas 23 e 24, resolva a equação diferencial dada sujeita às condiçōes indicadas.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=0, \quad y(\pi / 2)=0, \quad y(\pi)=-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 2y = 0
sujeita às condições de contorno
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0 \quad\text{e}\quad y(\pi)=-1.
O método consiste em usar a equação característica associada para encontrar as raízes, escrever a solução geral e depois determinar as constantes pelos valores dados.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 2r + 2 = 0.
O discriminante é
\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot2 = 4 - 8 = -4,
logo as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i.

Passo 3

Para raízes r = a \pm ib com a=1 e b=1, a solução geral da ODE é
y(x) = e^{ax}\bigl(C\cos(bx) + D\sin(bx)\bigr) = e^{x}\bigl(C\cos x + D\sin x\bigr),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Impondo y\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=0 obtemos
y\bigl(\tfrac\pi2\bigr) = e^{\pi/2}\bigl(C\cos\tfrac\pi2 + D\sin\tfrac\pi2\bigr) = e^{\pi/2}(C\cdot0 + D\cdot1) = e^{\pi/2}D = 0 \;\Longrightarrow\;D=0.
Assim
y(x) = e^{x}\,C\cos x.

Passo 5

Agora impomos y(\pi)=-1:
y(\pi) = e^{\pi}\,C\cos\pi = e^{\pi}C\cdot(-1) = -\,e^{\pi}C = -1 \;\Longrightarrow\; e^{\pi}C = 1 \;\Longrightarrow\; C = e^{-\pi}.

Resposta

y(x) = e^{x}\,e^{-\pi}\cos x = e^{\,x-\pi}\cos x.

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