Nos Problemas 23 e 24, resolva a equação diferencial dada sujeita às condiçōes indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
sujeita a
e
.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro a solução geral da homogênea, depois uma particular para cada parte do termo fonte, e por fim impor as condições iniciais.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro a solução geral da homogênea, depois uma particular para cada parte do termo fonte, e por fim impor as condições iniciais.
Passo 2
A equação homogênea associada é
A equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Para o termo não homogêneo
, propomos
Calculamos
então
deve igualar
. Assim
e
Passo 4
Para o termo não homogêneo
, propomos
Então
e
Isso deve ser
, logo
e
Passo 5
A solução geral da equação completa é
Calculamos a derivada
Passo 6
Impondo
temos
Impondo
temos
Resolvendo o sistema
obtém-se
Resposta
Substituindo
e
na solução geral, a resposta final é