Nos Problemas 23 e 24, resolva a equação diferencial dada sujeita às condiçōes indicadas.
y^{\prime \prime}-y=x+\operatorname{sen} x, y(0)=2, y^{\prime}(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'' - y = x + \sin x
sujeita a y(0)=2 e y'(0)=3.
O conteúdo é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: primeiro a solução geral da homogênea, depois uma particular para cada parte do termo fonte, e por fim impor as condições iniciais.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' - y = 0.
A equação característica é
r^2 - 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm 1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Para o termo não homogêneo x, propomos
y_{p1}(x) = A x + B.
Calculamos
y_{p1}'' = 0,\quad y_{p1} = A x + B,
então
y'' - y = 0 - (A x + B) = -A x - B
deve igualar x. Assim
-A x - B = x\quad\Longrightarrow\quad A = -1,\;B=0,
e
y_{p1}(x) = -x.

Passo 4

Para o termo não homogêneo \sin x, propomos
y_{p2}(x) = a\cos x + b\sin x.
Então
y_{p2}'' = -a\cos x - b\sin x,
e
y_{p2}'' - y_{p2} = (-a\cos x - b\sin x) - (a\cos x + b\sin x) = -2a\cos x - 2b\sin x.
Isso deve ser \sin x, logo
-2a = 0,\quad -2b = 1\quad\Longrightarrow\quad a=0,\;b=-\tfrac12,
e
y_{p2}(x) = -\tfrac12\sin x.

Passo 5

A solução geral da equação completa é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-x} - x - \tfrac12\sin x.
Calculamos a derivada
y'(x) = C_1 e^{x} - C_2 e^{-x} - 1 - \tfrac12\cos x.

Passo 6

Impondo y(0)=2 temos
y(0) = C_1 + C_2 - 0 - 0 = 2 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 2.
Impondo y'(0)=3 temos
y'(0) = C_1 - C_2 - 1 - \tfrac12 = 3 \quad\Longrightarrow\quad C_1 - C_2 = 3 + \tfrac32 = \tfrac92.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\\ C_1 - C_2 = \tfrac92, \end{cases}
obtém-se
C_1 = \tfrac{13}{4},\quad C_2 = -\tfrac{5}{4}.

Resposta

Substituindo C_1 e C_2 na solução geral, a resposta final é
y(x) = \frac{13}{4}e^{x} - \frac{5}{4}e^{-x} \;-\; x \;-\; \tfrac12\sin x.

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