Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série
é convergente ou divergente. A matéria aqui é sobre séries infinitas e usamos critérios específicos para analisar isso. A gente vai precisar entender um pouco sobre testes de comparação para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
. Isso significa que estamos somando infinitos termos da forma
. Para saber se essa soma dá um número finito (convergente) ou não (divergente), precisamos comparar com uma série que já conhecemos o comportamento.
Passo 3
Vamos observar o comportamento dos termos quando
cresce bastante, ou seja, para valores grandes de
. Quando
é muito grande, o
no denominador domina o 50, então podemos aproximar a fração assim:
Isso nos mostra que, para grandes
, os termos da nossa série se comportam como
.
Passo 4
Sabemos que a série
, conhecida como série harmônica, é divergente. Ou seja, ela não soma a um valor finito. Usando isso como comparação, vamos aplicar o Teste de Comparação.
Passo 5
Aplicando o Teste de Comparação, comparamos nossa série com a série harmônica:
Como a série harmônica diverge e nossos termos são comparáveis a ela para grandes
, concluímos que nossa série também diverge.
Resposta
A série
é divergente.