Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty n50+n^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a série sumn=1^infty n50 + n^2 é convergente ou divergente. A matéria aqui é sobre séries infinitas e usamos critérios específicos para analisar isso. A gente vai precisar entender um pouco sobre testes de comparação para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: sumn=1^infty n50 + n^2. Isso significa que estamos somando infinitos termos da forma n50 + n^2. Para saber se essa soma dá um número finito (convergente) ou não (divergente), precisamos comparar com uma série que já conhecemos o comportamento.

Passo 3

Vamos observar o comportamento dos termos quando n50 + n^2 approx nn^2 = 1n cresce bastante, ou seja, para valores grandes de . Quando é muito grande, o no denominador domina o 50, então podemos aproximar a fração assim:
Isso nos mostra que, para grandes , os termos da nossa série se comportam como .

Passo 4

Sabemos que a série , conhecida como série harmônica, é divergente. Ou seja, ela não soma a um valor finito. Usando isso como comparação, vamos aplicar o Teste de Comparação.

Passo 5

Aplicando o Teste de Comparação, comparamos nossa série com a série harmônica:
n50 + n^2 sim 1n
Como a série harmônica diverge e nossos termos são comparáveis a ela para grandes , concluímos que nossa série também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n50 + n^2 é divergente.

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