Os Problemas 19-24 tratam das raízes da unidade.
(a) Mostre que as
raízes
-ésimas da unidade são dadas por
(a) Mostre que as
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções de
, ou seja, as raízes
-ésimas da unidade. Vamos usar representação polar de números complexos e a fórmula de de Moivre.
Passo 2
Escrevemos o número 1 em forma polar. Como
tem módulo 1 e argumento qualquer múltiplo de
, temos
Passo 3
Seja uma raiz
dada em forma polar por
. Pela fórmula de de Moivre,
Passo 4
Como queremos
, igualamos módulos e argumentos:
- Módulo:
implica (considerando ). - Argumento:
leva a
Passo 5
Finalmente, restringimos
para obter as
raízes distintas. Cada raiz é
Resposta
As raízes
-ésimas da unidade são