Os Problemas 19-24 tratam das raízes da unidade.
(a) Mostre que as n raízes n-ésimas da unidade são dadas por
(1)^1 / n=cos 2 k pin+i sen 2 k pin, k=0,1,2, ldots, n-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções de z^n=1, ou seja, as raízes n-ésimas da unidade. Vamos usar representação polar de números complexos e a fórmula de de Moivre.

Passo 2

Escrevemos o número 1 em forma polar. Como 1 tem módulo 1 e argumento qualquer múltiplo de 2pi, temos
1 = ,cos(2pi k) + i,sin(2pi k), kinZ

Passo 3

Seja uma raiz z dada em forma polar por z = rl(costheta + isinthetar). Pela fórmula de de Moivre,
z^n = r^nl(cos(ntheta) + isin(ntheta)r)

Passo 4

Como queremos z^n=1, igualamos módulos e argumentos:
  • Módulo: r^n=1 implica r=1 (considerando r>=0).
  • Argumento: ntheta = 2pi k leva a theta = tfrac2pi kn, kinZ

Passo 5

Finalmente, restringimos k=0,1,2,dots,n-1 para obter as n raízes distintas. Cada raiz é
cos2pi kn + i,sin2pi kn, k=0,1,dots,n-1

Resposta

As raízes n-ésimas da unidade são
cos2pi kn + i,sin2pi kn, k=0,1,2,dots,n-1

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