Nos Problemas 3-20, escreva o número dado na forma a+i b.
(3-i)(2+3 i)1+i

Passo 1

Este exercício pede para escrever o número complexo (3 - i)(2 + 3i)1 + i na forma a + ib. O conteúdo envolve operações com números complexos: multiplicação e divisão por meio da racionalização do denominador.

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar os dois fatores no numerador usando FOIL (First, Outer, Inner, Last). Temos:
(3 - i)(2 + 3i) = 3cdot 2 + 3cdot 3i - icdot 2 - icdot 3i
Calculando cada termo:
3cdot 2 = 6, 3cdot 3i = 9i, -icdot 2 = -2i, -icdot 3i = -3i^2 = +3
Somando tudo:
6 + 9i - 2i + 3 = 9 + 7i
Logo o numerador virou 9 + 7i.

Passo 3

Agora vamos dividir 9 + 7i por 1 + i. Para isso, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1 + i, que é 1 - i:
9 + 7i1 + i cdot 1 - i1 - i = (9 + 7i)(1 - i)(1 + i)(1 - i)
No denominador temos
(1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 2
No numerador:
(9 + 7i)(1 - i) = 9 - 9i + 7i - 7i^2 = 9 - 2i + 7 = 16 - 2i

Passo 4

Finalmente, dividimos cada termo de 16 - 2i por 2:
16 - 2i2 = 8 - i
Assim, na forma a + ib temos a = 8 e b = -1.

Resposta

8 - i

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