Nos problemas 21 a 24 , considerando o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}, no \mathbb{R}^{3} e no \mathbb{R}^{4}, calcular o ângulo entre os pares de vetores dados em cada um deles.
\mu=(10,-3) \quad e \quad v=(3,10)

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os vetores \mu=(10,-3) e v=(3,10) em \mathbb{R}^2, usando o produto interno usual. Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo \theta entre dois vetores:
\cos\theta = \frac{\mu\cdot v}{\|\mu\|\;\|v\|}.

Passo 2

Calculamos o produto interno \mu\cdot v:
\mu\cdot v = 10\cdot 3 + (-3)\cdot 10 = 30 - 30 = 0.

Passo 3

Calculamos as normas de cada vetor:
\|\mu\| = \sqrt{10^2 + (-3)^2} = \sqrt{100 + 9} = \sqrt{109},
\|v\| = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{9 + 100} = \sqrt{109}.

Passo 4

Substituindo na fórmula do cosseno, obtemos
\cos\theta = \frac{0}{\sqrt{109}\,\sqrt{109}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \theta = \operatorname{arccos}(0) = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} (ou seja, 90^\circ).

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