Nos problemas 21 a 24 , considerando o produto interno usual no \mathbb{R}^{2}, no \mathbb{R}^{3} e no \mathbb{R}^{4}, calcular o ângulo entre os pares de vetores dados em cada um deles.
\mu=(3,1,-7) \quad e \quad v=(0,1,3)

Passo 1

No enunciado temos os vetores \mu=(3,1,-7) e v=(0,1,3) em \mathbb{R}^3. Vamos usar a fórmula do ângulo entre vetores dada pelo produto interno:
\cos\theta = \frac{\langle \mu, v \rangle}{\|\mu\|\;\|v\|}.

Passo 2

Calcular o produto interno \langle \mu, v\rangle:
\langle \mu, v\rangle = 3\cdot 0 + 1\cdot 1 + (-7)\cdot 3 = 0 + 1 - 21 = -20.

Passo 3

Calcular as normas de \mu e de v:
\|\mu\| = \sqrt{3^2 + 1^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 1 + 49} = \sqrt{59}, \qquad \|v\| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}.

Passo 4

Substituir na expressão do cosseno e obter \theta:
\cos\theta = \frac{-20}{\sqrt{59}\,\sqrt{10}} = \frac{-20}{\sqrt{590}},
\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{20}{\sqrt{590}}\bigr) \approx 145{,}2^\circ.

Resposta

O ângulo entre \mu e v é \displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{20}{\sqrt{590}}\bigr)\approx 145{,}2^\circ.

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