Sejam 0 e f:[a, b] R uma função positiva com derivada contínua. Determine equações paramétricas das superfícies geradas pela rotação da curva y=f(x) em torno do eixo x e do eixo y. Calcule a área da superfície em cada caso.
Resp.: (a) 2 pi integrala^b f(x) raiz1+f^prime(x)^2 d x, (b) 2 pi integrala^b x raiz1+f^prime(x)^2 d x.

Passo 1

Resumindo: temos a curva y = f(x), com f(x)>0 e f' contínua em [a,b], onde 0. A tarefa é rotacionar essa curva em torno do eixo x e do eixo y, obter as parametrizações das superfícies geradas e calcular suas áreas usando a teoria de superfícies de revolução.

Passo 2

Rotação em torno do eixo x: parametrizamos a superfície por
r(x,theta) = l(x,;f(x)costheta,;f(x)sinthetar), xin[a,b],;thetain[0,2pi]
Para a área usamos
A = integral dupla |rx times rtheta|,dtheta,dx
Calculamos
rx = l(1,;f'(x)costheta,;f'(x)sinthetar),
rtheta = l(0,;-f(x)sintheta,;f(x)costhetar)
O módulo do produto vetorial é
|rx times rtheta| = f(x)raiz1 + f'(x)^2
Integrando em theta de 0 a 2pi vem
Ax = 2pi integrala^b f(x)raiz1 + f'(x)^2,dx

Passo 3

Rotação em torno do eixo y: agora a parametrização é
r(x,theta) = l(xcostheta,;f(x),;xsinthetar), xin[a,b],;thetain[0,2pi]
De novo
A = integral dupla |rx times rtheta|,dtheta,dx
Calculamos
rx = l(costheta,;f'(x),;sinthetar),
rtheta = l(-xsintheta,;0,;xcosthetar)
O módulo do produto vetorial é
|rx times rtheta| = xraiz1 + f'(x)^2
Integrando em theta vem
Ay = 2pi integrala^b xraiz1 + f'(x)^2,dx

Resposta

(a) 2pi integrala^b f(x) raiz1+f'(x)^2,dx, (b) 2pi integrala^b x raiz1+f'(x)^2,dx.

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