Sejam
e
uma função positiva com derivada contínua. Determine equações paramétricas das superfícies geradas pela rotação da curva
em torno do eixo
e do eixo
. Calcule a área da superfície em cada caso.
Resp.: (a)
, (b)
.
Resp.: (a)
Passo 1
Resumindo: temos a curva
, com
e
contínua em
, onde
. A tarefa é rotacionar essa curva em torno do eixo
e do eixo
, obter as parametrizações das superfícies geradas e calcular suas áreas usando a teoria de superfícies de revolução.
Passo 2
Rotação em torno do eixo
: parametrizamos a superfície por
Para a área usamos
Calculamos
O módulo do produto vetorial é
Integrando em
de 0 a
vem
Passo 3
Rotação em torno do eixo
: agora a parametrização é
De novo
Calculamos
O módulo do produto vetorial é
Integrando em
vem
Resposta
(a)
, (b)
.