Nos Problemas 21-24, use o teorema binomial*
(A+B)^n=A^n & +n1! A^n-1 B+n(n-1)2! A^n-2 B^2+cdots & +n(n-1)(n-2) cdots(n-k+1)k! A^n-k B^k+cdots+B^n
onde n=1,2,3, ldots, para escrever o número dado na forma a+i b.
(-2+2 i)^5

Passo 1

Estamos querendo calcular (-2+2i)^5 e escrever o resultado na forma a+ib. O conteúdo principal aqui é o teorema binomial aplicado a números complexos, e vamos precisar usar a expansão de (A+B)^n.

Passo 2

Identificamos A = -2, B = 2i e n = 5. Aplicando o teorema binomial, temos a expansão abaixo:
[(-2+2i)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k}(-2){5-k}(2i){k}.]
Agora calculamos de uma vez os termos para k = 0, 1 e 2 usando coeficientes binomiais e potências de A e B:
O termo para k = 0 é T_0 = \binom{5}{0}(-2)5(2i)0 = -32.
O termo para k = 1 é T_1 = \binom{5}{1}(-2)4(2i)1 = 5·16·2i = 160i.
O termo para k = 2 é T_2 = \binom{5}{2}(-2)3(2i)2 = 10·(-8)·(-4) = 320.

Passo 3

Em seguida, calculamos os termos para k = 3, 4 e 5:
O termo para k = 3 é T_3 = \binom{5}{3}(-2)2(2i)3 = 10·4·(-8i) = -320i.
O termo para k = 4 é T_4 = \binom{5}{4}(-2)1(2i)4 = 5·(-2)·16 = -160.
O termo para k = 5 é T_5 = \binom{5}{5}(-2)0(2i)5 = 1·32i = 32i.

Passo 4

Agora somamos as partes reais e imaginárias:
A parte real é -32 + 320 - 160 = 128.
A parte imaginária é 160i - 320i + 32i = -128i.

Resposta

128 - 128i

Exercícios relacionados