Questão 5: Calcule a massa de uma lâmina contida na região D: y^2+x^2 <= 1, com x >= 0 e y >= 0, se a função densidade é dada por de
resp: =pi6 u m

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina no quarto de disco unitário em que x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0, com densidade de. O conteúdo é massa de lâmina por integral dupla e vamos usar coordenadas polares para resolver.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta, y=rsintheta. Assim raizx^2+y^2=r e o elemento de área dA=r,dr,dtheta. A região D vira 0<= r<=1 e 0<= theta<=tfracpi2.

Passo 3

Montamos a integral de massa em polares:
m = integral duplaD de

Passo 4

Calculamos em duas etapas:
  1. integral0^1 r^2 ,dr = l[tfracr^33r]0^1 = tfrac13
  2. integral0^pi/2 dtheta = tfracpi2
    Multiplicando, obtemos m = tfrac13cdottfracpi2 = tfracpi6

Resposta

tfracpi6 u.m.

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