Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial dado:
Informações fornecidas:
- A equação diferencial é linear de primeira ordem com coeficientes constantes:
. - Condição inicial:
.
O objetivo é encontrar a funçãoque satisfaz a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a transformada de Laplace e duas propriedades essenciais que usaremos.
Definição (breve): a transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável da transformada.
Propriedades usadas:
- Linearidade:
. - Derivada: se
, então
- Transformada de exponencial: para qualquer constante
,
logo, no nosso caso, com
,
Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial para transformar o problema em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicando
em ambos os lados de
usando linearidade e a propriedade da derivada, obtemos
Substituindo
e
, onde
e
, obtemos
Passo 4
Reagrupando os termos em
:
Isolando
,
logo
Passo 5
Agora precisamos inverter a transformada de Laplace. A primeira parcela
corresponde diretamente a
. A segunda parcela requer decomposição em frações parciais:
procuramos constantes e
tais que
procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Para achar
e
podemos avaliar em
e
:
- Em
: - Em
:
Portanto
Passo 6
Substituindo essa decomposição em
:
Reunindo os termos com
:
Passo 7
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabendo que
, obtemos
É bom conferir rapidamente a condição inicial: em
,
que coincide com a condição dada.