Nos Problemas 21-30, utilize a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^{\prime}+4 y=e^{-t}, \quad y(0)=2

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial dado:
y'(t)+4y(t)=e^{-t},\qquad y(0)=2.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial é linear de primeira ordem com coeficientes constantes: y'(t)+4y(t)=e^{-t}.
  • Condição inicial: y(0)=2.
    O objetivo é encontrar a função y(t) que satisfaz a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a transformada de Laplace e duas propriedades essenciais que usaremos.
Definição (breve): a transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável da transformada.
Propriedades usadas:
  1. Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  2. Derivada: se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
  1. Transformada de exponencial: para qualquer constante a,
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a},
logo, no nosso caso, com a=-1,
\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\frac{1}{s+1}.
Vou aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial para transformar o problema em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em ambos os lados de
y'(t)+4y(t)=e^{-t},
usando linearidade e a propriedade da derivada, obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)+4\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\mathcal{L}\{e^{-t}\}(s).
Substituindo \mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0) e \mathcal{L}\{e^{-t}\}(s)=\dfrac{1}{s+1}, onde Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s) e y(0)=2, obtemos
\bigl(sY(s)-2\bigr)+4Y(s)=\frac{1}{s+1}.

Passo 4

Reagrupando os termos em Y(s):
(s+4)Y(s)-2=\frac{1}{s+1}.
Isolando Y(s),
(s+4)Y(s)=2+\frac{1}{s+1},
logo
Y(s)=\frac{2}{s+4}+\frac{1}{(s+4)(s+1)}.

Passo 5

Agora precisamos inverter a transformada de Laplace. A primeira parcela \dfrac{2}{s+4} corresponde diretamente a 2e^{-4t}. A segunda parcela requer decomposição em frações parciais:
procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{(s+4)(s+1)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+4) obtemos
1=A(s+4)+B(s+1).
Para achar A e B podemos avaliar em s=-1 e s=-4:
  • Em s=-1: 1=A(3)+B(0)\Rightarrow A=\frac{1}{3}.
  • Em s=-4: 1=A(0)+B(-3)\Rightarrow B=-\frac{1}{3}.
Portanto
\frac{1}{(s+4)(s+1)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+4}.

Passo 6

Substituindo essa decomposição em Y(s):
Y(s)=\frac{2}{s+4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+1}-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+4}.
Reunindo os termos com \dfrac{1}{s+4}:
Y(s)=\left(2-\frac{1}{3}\right)\frac{1}{s+4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+1} =\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{s+4}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{s+1}.

Passo 7

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Sabendo que \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}, obtemos
y(t)=\frac{5}{3}e^{-4t}+\frac{1}{3}e^{-t}.
É bom conferir rapidamente a condição inicial: em t=0,
y(0)=\frac{5}{3}+\frac{1}{3}=2,
que coincide com a condição dada.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{5}{3}e^{-4t}+\frac{1}{3}e^{-t}

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