Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
4 3 d yd x+12 y=4

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
3,dydx + 12,y = 4
e pede para resolver por separação de variáveis. Vamos transformar em uma forma dy/dx = f(x),g(y) e integrar.

Passo 2

Isolamos a derivada dividindo ambos os lados por 3:
dydx + 4,y = 43
Logo,
dydx = 43 - 4,y

Passo 3

Agora separamos variáveis escrevendo
dytfrac43 - 4y = dx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dytfrac43 - 4y = integral dx
Na integral à esquerda fazemos a substituição u = tfrac43-4y, então du = -4,dy, dy = -tfrac14du. Assim,
integral dytfrac43 - 4y = integral -tfrac14,duu = -tfrac14,lnlvert urvert = -tfrac14,lnllvert tfrac43-4yrrvert
No lado direito, integral dx = x + C. Portanto,
-tfrac14,lnllvert tfrac43-4yrrvert = x + C

Passo 5

Multiplicamos por -4 e exponenciamos:
lnllvert tfrac43-4yrrvert = -4x + C' Longrightarrow llvert tfrac43-4yrrvert = K,e^-4x
Removendo o valor absoluto e renomeando a constante, obtemos
tfrac43-4y = C,e^-4x
Finalmente, isolamos y:
4y = tfrac43 - C,e^-4x Longrightarrow y = tfrac13 - tfracC4,e^-4x
Como C/4 é uma constante arbitrária, escrevemos a solução geral como
y(x) = 13 + A,e^-4x,
onde A é constante de integração.

Resposta

y(x) = 13 + A,e^-4x,
com A constante arbitrária.

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