Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
5 y^prime+3 x^2 y=x^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem por separação de variáveis:
Temos
y' + 3x^2 y = x^2
e queremos encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Primeiro expressamos y’ como dydx e isolamos os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
dydx = x^2 - 3x^2 y = x^2(1 - 3y)

Passo 3

Agora separamos as variáveis, colocando todo termo com y em dy e todo termo com x em dx:
dy1 - 3y = x^2 ,dx
Isso é exatamente o método de separação de variáveis.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dy1 - 3y = integral x^2 ,dx
No lado esquerdo usamos a substituição u = 1 - 3y, du = -3,dy, obtendo
integral dy1 - 3y = -tfrac13 lnlvert 1 - 3yrvert
e no direito
integral x^2 ,dx = tfracx^33 + C .

Passo 5

Multiplicando por -3) e reorganizando constantes, temos
lnlvert 1 - 3yrvert = -x^3 + C1
Logo
1 - 3y = C e^-x^3
e, finalmente, isolando y:
y(x) = 1 - C e^-x^33

Resposta

y(x) = \frac{1 - C e{-x3}}{3}

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