Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
6 y^prime+2 x y=x^3

Passo 1

Resumimos o enunciado: resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' + 2x,y = x^3
usando o método do fator integrante (pois não é separável).

Passo 2

Colocamos na forma padrão
y' + P(x),y = Q(x),
com P(x)=2x e Q(x)=x^3. O fator integrante é
mu(x) = e^integral P(x),dx = e^integral 2x,dx = e^x^2

Passo 3

Multiplicamos todos os termos por mu(x) e reconhecemos a derivada de produto:
e^x^2 y' + 2x,e^x^2,y = x^3 e^x^2 Longrightarrow ddxl(e^x^2 yr) = x^3 e^x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x^2 y = integral x^3 e^x^2,dx + C
Para calcular integral x^3 e^x^2,dx fazemos u = x^2, du = 2x,dx, então x^3dx = x^2cdot xdx = u,du2. Assim,
integral x^3 e^x^2,dx = 12integral u e^u,du = 12l(u e^u - e^ur) + C1 = 12 e^u(u-1) + C1 = 12 e^x^2(x^2 -1) + C1
Logo
e^x^2y = 12 e^x^2(x^2 -1) + C

Passo 5

Isolando y, dividimos por e^x^2:
y = 12(x^2 -1) + C e^-x^2

Resposta

y(x) = x^2 - 12 + C e^-x^2

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