Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
8 y^prime=2 y+x^2+5

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = 2y + x^2 + 5
Trata-se de uma equação linear de primeira ordem, ou seja, está na forma
y' + p(x),y = q(x)
Para resolvê-la vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos em forma padrão isolando y':
y' - 2y = x^2 + 5
Aqui p(x) = -2 e q(x) = x^2 + 5.
O fator integrante é
mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -2,dx = e^-2x

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^-2xy' - 2e^-2xy = (x^2+5)e^-2x
O lado esquerdo é a derivada de e^-2xy:
ddxl(e^-2xyr) = (x^2+5)e^-2x
Integramos ambos os lados em x:
integral ddxl(e^-2xyr),dx = integral (x^2+5)e^-2x,dx

Passo 4

Para calcular
I = integral (x^2+5)e^-2x,dx
separamos em dois integrais. Primeiro, por partes,
integral x^2 e^-2x,dx = e^-2xl(-tfrac12x^2 - tfrac12x - tfrac14r) + C1
Depois,
integral 5e^-2x,dx = -tfrac52,e^-2x + C2
Somando e absorvendo C1+C2 numa constante única C, fica
I = e^-2xl(-tfrac12x^2 - tfrac12x - tfrac114r) + C

Passo 5

Voltando à integral da Passo 3,
e^-2xy = e^-2xl(-tfrac12x^2 - tfrac12x - tfrac114r) + C
Multiplicando por e^2x, obtemos a solução geral
y = -tfrac12x^2 - tfrac12x - tfrac114 + Ce^2x

Resposta

y(x) = Ce^2x - 12x^2 - 12x - 114

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