Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
9 x d yd x-y=x^2 sen x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
xdydx-y = x^2sen x
Esse tipo de equação é linear, então vamos usar o método do fator integrante para achar a solução geral.

Passo 2

Para aplicar o método, primeiro colocamos a equação na forma padrão dy/dx + P(x)y = Q(x). Dividindo toda a expressão por x (supondo xneq0) temos
dydx - 1xy = xsen x
Aqui identificamos
P(x) = -1x, Q(x) = xsen x

Passo 3

Agora calculamos o fator integrante mu(x), que satisfaz
mu(x) = expl(integral P(x),dxr) = expl(-integral 1x,dxr) = exp(-ln|x|) = x^-1

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x^-1:
x^-1dydx - x^-2y = sen x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y,x^-1, ou seja,
ddxl(yxr) = sen x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
yx = -cos x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Por fim, isolamos y:
y = xl(-cos x + Cr) = -xcos x + Cx
Essa é a solução geral da EDO original.

Resposta

y = -x\cos x + Cx

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