Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
10 x d yd x+2 y=3

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
x,dydx+2y=3
Este é um caso de equação de primeira ordem que pode ser resolvida por separação de variáveis: precisamos escrever a forma
g(y),dy=h(x),dx

Passo 2

Isolamos dydx. Da equação
x,dydx+2y=3
subtraímos 2y e dividimos por x, obtendo
dydx=3-2yx

Passo 3

Reescrevemos de modo a separar y e x:
dy3-2y=dxx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integral dy3-2y=integral dxx

Passo 5

Para a integral da esquerda fazemos u=3-2y, logo du=-2,dy, e
integral dy3-2y =integral -,du/2u =-tfrac12integralduu =-tfrac12lnlvert3-2yrvert
A integral da direita é lnlvert xrvert. Assim
-tfrac12lnlvert3-2yrvert=lnlvert xrvert+C1

Passo 6

Multiplicando por -2 e exponenciando, escrevemos
lnlvert3-2yrvert=-2lnlvert xrvert+C2 =lnl(C,x^-2r) Longrightarrow 3-2y=C,x^-2
Daí
2y=3-C,x^-2 Longrightarrow y=32-C2x^-2
Renomeando a constante geral como K=-tfracC2, obtemos a forma final

Resposta

y(x)=32+K,x^-2,
onde K é constante arbitrária.

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