Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
11 x d yd x+4 y=x^3-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x,dydx + 4y = x^3 - x. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem e linear em y. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos toda a equação por x (assumindo xneq0) para colocá-la na forma padrão dydx+P(x)y=Q(x):
dydx + 4xy = x^2 - 1
Aqui P(x)=4/x e Q(x)=x^2-1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integral4/x,dx=e^4ln|x|=x^4.

Passo 4

Multiplicamos a equação por mu(x)=x^4. O lado esquerdo vira derivada do produto x^4y:
x^4dydx+4x^3y=ddxl(x^4yr)
E o lado direito é:
x^4(x^2-1)=x^6-x^4

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
integralddx(x^4y),dx=integral(x^6-x^4),dx
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x^4y=x^77-x^55+C

Passo 6

Isolamos y dividindo por x^4:
y=1x^4l(x^77-x^55+Cr) =x^37-x5+C,x^-4

Resposta

y=x^37-x5+C,x^-4

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