Nos problemas 1-22, resolva, por separação de variåveis, as equações diferenciais dadas.
22 d Pd t+2 t P=P+4 t-2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
dPdt + 2t,P = P + 4t - 2
Reorganizando para a forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem, trazemos o termo P para o lado esquerdo:
dPdt + (2t - 1),P = 4t - 2
Vamos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente de P como 2t - 1. O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t) = exp!l(integral (2t - 1),dtr) = expl(t^2 - tr)

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(t), obtemos
exp(t^2 - t),dPdt + (2t - 1),exp(t^2 - t),P = (4t - 2),exp(t^2 - t)
O lado esquerdo é exatamente a derivada de P,exp(t^2 - t), ou seja,
ddtl[P,e^t^2 - tr] = (4t - 2),e^t^2 - t

Passo 4

Para integrar o lado direito, note que
4t - 2 = 2,(2t - 1),
então
integral (4t - 2),e^t^2 - t,dt = 2 integral (2t - 1),e^t^2 - t,dt = 2,e^t^2 - t + C,
porque ddt(t^2 - t) = 2t - 1.

Passo 5

Integrando ambos os lados, ficamos com
P,e^t^2 - t = 2,e^t^2 - t + C
Bast a dividir por e^t^2 - t para isolar P:
P(t) = 2 + C,e^-(t^2 - t) = 2 + C,e^t - t^2

Resposta

P(t) = 2 + C,e^,t - t^2

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