Nos Problemas 25 e 26, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros.
y^{\prime \prime}-y^{\prime}=2 e^{x} /\left(e^{x}+e^{-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método da variação de parâmetros, a equação diferencial
y''-y'=\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}.
Isso é uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois aplicar variação de parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y''-y'=0.
A equação característica é
r^2-r=0\quad\Longrightarrow\quad r(r-1)=0\quad\Longrightarrow\quad r=0,1.
Logo duas soluções lineares independentes são
y_1(x)=1,\quad y_2(x)=e^x
e a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1\cdot1+C_2\,e^x.

Passo 3

Para variação de parâmetros precisamos do Wronskiano
W(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1'&y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & e^x\\\\ 0 & e^x \end{vmatrix} =e^x.
Na forma padrão y''+p(x)y'+q(x)y=r(x), aqui p=-1, q=0 e
r(x)=\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}.
As fórmulas de variação de parâmetros são
u_1'=-\frac{y_2\,r}{W},\qquad u_2'=\frac{y_1\,r}{W}.

Passo 4

Calculemos u_1' e u_2':
u_1'=-\frac{e^x\cdot\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}}{e^x} =-\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}},
u_2'=\frac{1\cdot\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}}{e^x} =\frac{2}{e^x+e^{-x}}.
Integramos cada um: com t=e^x, dt=e^xdx,
u_1=\int -\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}}\,dx =\int -\frac{2t}{t^2+1}\,\frac{dt}{t} =-\int\frac{2t}{t^2+1}dt =-\ln\bigl(t^2+1\bigr) =-\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr),
u_2=\int \frac{2}{e^x+e^{-x}}\,dx =\int \frac{2t}{t^2+1}\,\frac{dt}{t} =\int\frac{2}{t^2+1}dt =2\arctan(t) =2\arctan\bigl(e^x\bigr).

Passo 5

A solução particular vem de
y_p=u_1\,y_1+u_2\,y_2 =-\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) +2\,e^x\arctan\bigl(e^x\bigr).
Portanto a solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) =C_1 + C_2\,e^x -\ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) +2\,e^x\arctan\bigl(e^x\bigr).

Resposta

\boxed{y(x)=C_1 + C_2\,e^x - \ln\bigl(e^{2x}+1\bigr) + 2\,e^x\arctan\bigl(e^x\bigr).}

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