Nos Problemas 27 e 28, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
\left(2 D^{3}-13 D^{2}+24 D-9\right) y=36, y(0)=-4, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=\frac{5}{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de terceira ordem
\bigl(2D^{3}-13D^{2}+24D-9\bigr)y=36
com condições iniciais \;y(0)=-4, \;y'(0)=0, \;y''(0)=\tfrac52.
O método será:
  1. achar a solução geral da homogênea pelo polinômio característico;
  2. obter uma solução particular;
  3. somar e ajustar as constantes com as condições iniciais.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado à parte homogênea:
2r^{3}-13r^{2}+24r-9=0.
Precisamos fatorar ou encontrar as raízes desse polinômio.

Passo 3

Testando r=3:
2\cdot3^{3}-13\cdot3^{2}+24\cdot3-9 =54-117+72-9=0,
logo r=3 é raiz. Dividindo 2r^{3}-13r^{2}+24r-9 por (r-3) obtemos
2r^{2}-7r+3=0,
cuja fórmula de Bhaskara dá
r=\frac{7\pm\sqrt{49-24}}{4}=\frac{7\pm5}{4}\;\Longrightarrow\;r=3\quad\text{ou}\quad r=\tfrac12.
Assim a raiz r=3 é dupla e r=\tfrac12 é simples.

Passo 4

A solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}\,t\,e^{3t}+C_{3}e^{t/2}.

Passo 5

Para a parte particular, como o segundo membro é constante, tentamos y_{p}=A.
Substituindo em (2D^{3}-13D^{2}+24D-9)y_{p}=36 só fica -9A=36, logo
A=-4,
isto é,
y_{p}(t)=-4.

Passo 6

A solução geral da equação completa é
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t) =C_{1}e^{3t}+C_{2}\,t\,e^{3t}+C_{3}e^{t/2}-4.

Passo 7

Agora precisamos calcular y'(t) e y''(t) para impor as condições em t=0.
De
y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}t\,e^{3t}+C_{3}e^{t/2}-4
segue
y'(t)=(3C_{1}+C_{2})e^{3t}+3C_{2}\,t\,e^{3t}+\tfrac12\,C_{3}e^{t/2},
y''(t)=(9C_{1}+6C_{2})e^{3t}+9C_{2}\,t\,e^{3t}+\tfrac14\,C_{3}e^{t/2}.
Em t=0 temos
y(0)=C_{1}+C_{3}-4,\quad y'(0)=3C_{1}+C_{2}+\tfrac12C_{3},\quad y''(0)=9C_{1}+6C_{2}+\tfrac14C_{3}.

Passo 8

Impondo as condições
\begin{cases} y(0)=-4,\\\ y'(0)=0,\\\ y''(0)=\tfrac52, \end{cases}
obtemos o sistema
\begin{cases} C_{1}+C_{3}-4=-4,\\\\ 3C_{1}+C_{2}+\tfrac12C_{3}=0,\\\\ 9C_{1}+6C_{2}+\tfrac14C_{3}=\tfrac52. \end{cases}
Da primeira equação vem C_{3}=-C_{1}. Substituindo nas outras e resolvendo dá
C_{1}=-\tfrac25,\quad C_{2}=1,\quad C_{3}=\tfrac25.

Passo 9

Substituindo C_{1},C_{2},C_{3} em y(t), a solução fica
y(t)=-\tfrac25e^{3t}+1\cdot t\,e^{3t}+\tfrac25e^{t/2}-4.

Resposta

y(t)=t\,e^{3t}-\tfrac25e^{3t}+\tfrac25e^{t/2}-4.

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