Nos Problemas 27 e 28, resolva a equação diferencial dada sujeita às condições indicadas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear não-homogênea de terceira ordem
com condições iniciais
,
,
.
O método será:
O método será:
- achar a solução geral da homogênea pelo polinômio característico;
- obter uma solução particular;
- somar e ajustar as constantes com as condições iniciais.
Passo 2
Formamos o polinômio característico associado à parte homogênea:
Precisamos fatorar ou encontrar as raízes desse polinômio.
Passo 3
Testando
:
logo
é raiz. Dividindo
por
obtemos
cuja fórmula de Bhaskara dá
Assim a raiz
é dupla e
é simples.
Passo 4
A solução geral da homogênea é
Passo 5
Para a parte particular, como o segundo membro é constante, tentamos
.
Substituindo em só fica
, logo
Substituindo em
isto é,
Passo 6
A solução geral da equação completa é
Passo 7
Agora precisamos calcular
e
para impor as condições em
.
De
De
segue
Em
temos
Passo 8
Impondo as condições
obtemos o sistema
Da primeira equação vem
. Substituindo nas outras e resolvendo dá
Passo 9
Substituindo
em
, a solução fica