Nos problemas 23-28, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
23.
23.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar
e
, integrar, aplicar a condição inicial e, por fim, determinar o maior intervalo onde a solução existe.
Passo 2
Reescrevendo a equação em forma separável, temos
Passo 3
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo, basta a substituição
,
, logo
Do lado direito,
Juntando as constantes, obtemos
Passo 4
Exponenciando,
onde
é constante. Para achar
, usamos
:
Passo 5
Substituindo
de volta,
Como
, escolhemos o ramo positivo:
Passo 6
Para que a raiz seja real, é necessário
Esse é o maior intervalo de existência da solução: