Nos problemas 23-28, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
23. x d xd t=4(x^2+1), x(pi / 4)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x,dxdt=4l(x^2+1r), xl(tfracpi4r)=1
Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar x e t, integrar, aplicar a condição inicial e, por fim, determinar o maior intervalo onde a solução existe.

Passo 2

Reescrevendo a equação em forma separável, temos
dxdt=4l(x^2+1r)x Longrightarrow xx^2+1,dx=4,dt

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral xx^2+1,dx = integral 4,dt
No lado esquerdo, basta a substituição u=x^2+1, du=2x,dx, logo
integral xx^2+1,dx =12integral duu =12lnl(x^2+1r)+C
Do lado direito,
integral 4,dt=4t + C1
Juntando as constantes, obtemos
12lnl(x^2+1r)=4t + C2 Longrightarrow lnl(x^2+1r)=8t + C

Passo 4

Exponenciando,
x^2+1 = K e^8t,
onde K=e^C é constante. Para achar K, usamos x(tfracpi4)=1:
1^2+1 = K e^8cdot(pi/4) Longrightarrow 2 = K e^2pi Longrightarrow K = 2e^-2pi

Passo 5

Substituindo K de volta,
x^2(t) = 2e^-2pie^8t - 1 =2e^8t-2pi-1
Como x(tfracpi4)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
boxedx(t)=raiz,2e^8t-2pi-1,

Passo 6

Para que a raiz seja real, é necessário
2e^8t-2pi-1>0 Longrightarrow e^8t-2pi>tfrac12 Longrightarrow 8t-2pi>-ln2 Longrightarrow t>2pi-ln28 =pi4-ln28
Esse é o maior intervalo de existência da solução:
I=l(tfracpi4-tfracln28,,inftyr)

Resposta

x(t)=raiz,2e^8t-2pi-1,, I=l(tfracpi4-tfracln28,,inftyr)

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