Verifique se as séries convergem ou divergem:
sumn=1^infty n^2n!

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
sumn=1^infty n^2n!
converge ou diverge. O conteúdo da matéria envolve séries de termos positivos e, para isso, vamos usar o teste da razão, que é eficiente quando há fatoriais.

Passo 2

Seja an = n^2n!. Aplicando o teste da razão, calculamos
L = limntoinfty an+1an = limntoinfty (n+1)^2(n+1)! n^2n! = limntoinfty (n+1)^2n^2,(n+1) = limntoinftyn+1n^2 = 0

Passo 3

Como L=0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Logo, não há dúvida de convergência.

Resposta

A série converge absolutamente (portanto, converge).

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