Nos problemas 23-28, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
26. d yd t+2 y=1, y(0)=52

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
dydt + 2y = 1, y(0)=52
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o fator integrante.

Passo 2

O fator integrante é
mu(t) = e^integral 2,dt = e^2t
Multiplicando a equação original por mu(t) temos
e^2tdydt + 2e^2ty = e^2t
O lado esquerdo é a derivada do produto y,e^2t, ou seja,
ddtl(y,e^2tr) = e^2t
Integrando ambos os lados em relação a t,
y,e^2t = integral e^2t,dt = 12e^2t + C
Logo a solução geral é
y(t) = 12 + C,e^-2t

Passo 3

Para determinar C, usamos a condição inicial y(0)=tfrac52:
52 = y(0) = 12 + Ccdot e^0 Longrightarrow C = 2
Assim
y(t) = 12 + 2,e^-2t

Passo 4

A função y(t)=tfrac12+2e^-2t é bem definida para todo tinR, pois a exponencial não tem singularidades. Portanto, o maior intervalo de definição é
I = (-infty,infty)

Resposta

A solução é
y(t) = 12 + 2e^-2t,
definida em
I = (-infty,infty)

Exercícios relacionados