Nos problemas 23-28, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
28. (1+x^4) d y+x(1+4 y^2) d x=0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de valor inicial
(1+x^4),dy + x,(1+4y^2),dx = 0, y(1)=0
Trata-se de uma EDO de primeira ordem que é separável, pois podemos agrupar termos em y de um lado e termos em x do outro.

Passo 2

Reescrevemos para separar variáveis:
(1+x^4),dydx + x,(1+4y^2) = 0 ;Longrightarrow; (1+x^4),dy = -,x,(1+4y^2),dx ;Longrightarrow; dy1+4y^2 = -,x1+x^4,dx

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. À esquerda usamos
integral dy1+4y^2 = 12 arctan(2y),
e à direita fazemos a substituição u=x^2, pois du=2x,dx:
integral -,x1+x^4,dx = -12 integral du1+u^2 = -12 arctan(u) = -12 arctan(x^2)
Logo obtemos a relação
12 arctan(2y) = -12 arctan(x^2) + C

Passo 4

Multiplicando por 2 e rearranjando,
arctan(2y) + arctan(x^2) = K,
onde K=2C é constante. Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
arctan(2cdot 0) + arctan(1^2) = 0 + pi4 = K ;Longrightarrow; K = pi4
Logo
arctan(2y) = pi4 - arctan(x^2) Longrightarrow 2y = tanl(pi4 - arctan(x^2)r)
Usando a fórmula do tangente da diferença,
2y = 1 - x^21 + x^2 ;Longrightarrow; y(x) = 1 - x^22,(1 + x^2)

Passo 5

O campo de direções e o próprio denominador (1+x^4) nunca se anulam para x real, então a solução explícita
y(x) = 1 - x^22,(1 + x^2)
é válida para todo xinR. Portanto o maior intervalo de existência é R.

Resposta

y(x) = 1 - x^22,(1 + x^2), I = (-infty,infty)

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