Nos problemas 23-28, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
28.
28.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de valor inicial
Trata-se de uma EDO de primeira ordem que é separável, pois podemos agrupar termos em
de um lado e termos em
do outro.
Passo 2
Reescrevemos para separar variáveis:
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. À esquerda usamos
e à direita fazemos a substituição
, pois
:
Logo obtemos a relação
Passo 4
Multiplicando por 2 e rearranjando,
onde
é constante. Aplicamos a condição inicial
:
Logo
Usando a fórmula do tangente da diferença,
Passo 5
O campo de direções e o próprio denominador
nunca se anulam para
real, então a solução explícita
é válida para todo
. Portanto o maior intervalo de existência é
.