Nos Problemas 23.41 a 23.48 , determine

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
g(x)= 0, & x<3, x, & x>=3
O conteúdo envolvido é o uso da função degrau de Heaviside e o teorema de translação na variável x para calcular mathscrLg(x).

Passo 2

Reescrevemos g(x) usando a função degrau de Heaviside u(x-3). Para x>=3, u(x-3)=1 e para x<3, u(x-3)=0. Logo
g(x)=x,u(x-3)

Passo 3

Para aproveitar o teorema de translação, escrevemos x como
x = (x-3) + 3,
de modo que
g(x)=l((x-3)+3r),u(x-3) =(x-3),u(x-3)+3,u(x-3)

Passo 4

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo separadamente, usando o fato de que, se h(x)=f(x-3),u(x-3), então
mathscrLh(x) =e^-3s,mathscrLf(x)(onde a integral de f é de 0 a infty) é
No nosso caso:
1. Para (x-3),u(x-3), identificamos f(x)=x, cuja transformada é mathscrLx=1/s^2. Então
mathscrL(x-3),u(x-3) =e^-3s,1s^2
2. Para 3,u(x-3), temos f(x)=3, cuja transformada é mathscrL3=3/s. Logo
mathscrL3,u(x-3) =e^-3s,3s

Passo 5

Somando os dois resultados, obtemos
mathscrLg(x) =e^-3sl(1s^2+3sr) =e^-3s,3s+1s^2

Resposta

mathscrLg(x) =e^-3s,3s+1s^2

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