Nos Problemas 23.41 a 23.48 , determine mathscrLg(x) para as funções dadas.
g(x)=cc0 & x<2 e^x-2 & x >= 2

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)= 0, & x<2, e^,x-2, & x>=2,
pede a transformada de Laplace mathscrLg(x). O conteúdo é a transformada de Laplace de uma função deslocada no tempo e vamos precisar do segundo teorema de deslocamento (ou teorema da função degrau).

Passo 2

Para aplicar o teorema de deslocamento, escrevemos g(x) usando a função de Heaviside u(x-2):
g(x)=e^,x-2,u(x-2)

Passo 3

Chamamos
h(t)=e^,t,
de modo que
g(x)=h(x-2),u(x-2)
O segundo teorema de deslocamento afirma que
mathscrLh(x-2),u(x-2)(s)=e^-2s,mathscrLh(x)(s)

Passo 4

Calculamos a transformada de Laplace de h(x)=e^x:
mathscrLe^x(s) =integral0^inftye^-s x,e^x,dx =integral0^inftye^-(s-1)x,dx =1s-1,
válido para Re(s)>1.

Passo 5

Substituindo no resultado do deslocamento, obtemos
mathscrLg(x)(s) =e^-2s,1s-1 =e^-2ss-1,
com região de convergência Re(s)>1.

Resposta

mathscrLg(x)(s)=e^-2ss-1, Re(s)>1

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