Utilize transformadas de Laplace para resolver os seguintes problemas.
d vd t+2 v=32

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
dvdt + 2,v = 32
e pede para resolvê-la usando transformada de Laplace. Para aplicar a Laplace, precisamos de uma condição inicial; vamos assumir a condição usual
v(0)=0
O conteúdo aqui é: bul<=t transformada de Laplace de derivadas, bul<=t álgebra de funções de s, bul<=t frações parciais e bul<=t transformada inversa.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo. Usando
Ltfracdvdt(s)=s,V(s)-v(0),
Lv(t)(s)=V(s),
L32(s)=32s,
obtemos
l(s,V(s)-v(0)r) + 2,V(s) = 32s

Passo 3

Substituindo v(0)=0, a equação em V(s) fica
s,V(s) + 2,V(s) = 32s Longrightarrow V(s),(s+2) = 32s Longrightarrow V(s) = 32s,(s+2)

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais:
32s,(s+2) = As + Bs+2
Multiplicando por s(s+2)
32 = A,(s+2) + B,s = (A+B),s + 2A
Igualando coeficientes em s e termo constante:
A + B = 0, 2A = 32 ;Longrightarrow; A = 16,; B = -16
Logo
V(s) = 16s - 16s+2

Passo 5

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-1!ltfrac16sr(t) = 16, L^-1!ltfrac16s+2r(t) = 16,e^-2t
Portanto, a solução é
v(t) = 16 - 16,e^-2t = 16l(1 - e^-2tr)

Resposta

v(t) = 16l(1 - e^-2tr)

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