Nos problemas de 1 a 23, classificar e resolver os sistemas.
10 x+8 y-7 z & =1 5 x+3 y-8 z & =19 7 x-9 y+4 z & =-15

Passo 1

O enunciado fornece o sistema
10x + 8y - 7z = 1, 5x + 3y - 8z = 19, 7x - 9y + 4z = -15,
que é um sistema linear 3times3. O objetivo é classificar o sistema como determinado (solução única), indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução) e, em caso de solução, encontrá-la. Vamos usar eliminação de Gauss e, para a classificação, calcular o determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Calculamos o determinante
A = 10 & 8 & -7 5 & 3 & -8 7 & -9 & 4 , det(A) =10 det3 & -8-9 & 4 -8 det5 & -87 & 4 -7 det5 & 37 & -9
Os menores são
3cdot4-(-8)cdot(-9)=-60, 5cdot4-(-8)cdot7=76, 5cdot(-9)-3cdot7=-66,
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det(A)=10cdot(-60)-8cdot76-7cdot(-66)=-600-608+462=-746neq0
Como det(A)neq0, o sistema é determinado e tem solução única.

Passo 3

Para encontrar a solução, eliminamos x. Subtraindo o dobro da segunda equação da primeira:
(10x+8y-7z)-2(5x+3y-8z)=1-2cdot19 Longrightarrow 2y+9z=-37

Passo 4

Eliminando x entre a primeira e a terceira equação: multiplicamos a primeira por 7 e a terceira por 10 e subtraímos
7(10x+8y-7z)-10(7x-9y+4z) =7-10cdot(-15) Longrightarrow 146y-89z=157

Passo 5

Ficamos com o sistema 2times2:
2y+9z=-37, 146y-89z=157
Da primeira equação vem
y=-37-9z2
Substituindo na segunda:
146-37-9z2-89z=157 ;Longrightarrow; -2701-746z=157 ;Longrightarrow; z=-2858746=-1429373,
e
y=-37-9l(-tfrac1429373r)2 =-470373

Passo 6

Por fim, na segunda equação original
5x+3y-8z=19,
substituímos y e z:
5x =19-3l(-tfrac470373r)+8l(-tfrac1429373r) =-2935373 ;Longrightarrow; x=-587373

Resposta

O sistema é determinado (solução única) e
x=-587373, y=-470373, z=-1429373

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