Em um triângulo triang<= ABC, os ângulos  e B medem, respectivamente, 40^circ e 65^circ. Determine a razão entre os dois maiores ângulos formados pelas interseções das três alturas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo ABC onde o ângulo A mede 40° e o ângulo B mede 65°. O nosso objetivo é descobrir a razão entre os dois maiores ângulos que são formados quando as três alturas desse triângulo se encontram. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre triângulos, ângulos e as alturas (ou ortogonal) de um triângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor do terceiro ângulo do triângulo ABC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Então:
ang<= C = 180° - ang<= A - ang<= B = 180° - 40° - 65° = 75°
Então, os ângulos do triângulo são 40°, 65° e 75°.

Passo 3

As alturas de um triângulo são as linhas perpendiculares traçadas de cada vértice até o lado oposto. O ponto onde essas três alturas se encontram é chamado de ortocentro. No caso de triângulos acutângulos, como este (todos os ângulos são menores que 90°), o ortocentro está dentro do triângulo.

Passo 4

Quando as alturas se intersectam no ortocentro, elas formam vários ângulos ao seu redor. Queremos encontrar a razão entre os dois maiores desses ângulos.
Para isso, vamos lembrar que em um triângulo acutângulo, o ortocentro forma, com as alturas, ângulos complementares aos ângulos internos do triângulo.

Passo 5

Vamos chamar o ortocentro de H. Considerando os ângulos formados em H, temos:
  • O ângulo formado pela altura de A e a altura de B é complementar ao ângulo C, ou seja, 180° - C.
  • O ângulo formado pela altura de A e a altura de C é complementar ao ângulo B, ou seja, 180° - B.
  • O ângulo formado pela altura de B e a altura de C é complementar ao ângulo A, ou seja, 180° - A.
Então, os ângulos em H são:
ang<= BHC = 180° - A = 140°
ang<= AHC = 180° - B = 115°
ang<= AHB = 180° - C = 105°

Passo 6

Agora, identificamos os dois maiores ângulos formados no ortocentro:
  • 140°
  • 115°

Passo 7

Para encontrar a razão entre esses dois maiores ângulos, dividimos um pelo outro:
Razão = 140°115° = 2823 ã

Resposta

A razão entre os dois maiores ângulos formados pelas interseções das três alturas é de 2823 .

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