Em um triângulo
, os ângulos  e B medem, respectivamente,
e
. Determine a razão entre os dois maiores ângulos formados pelas interseções das três alturas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um triângulo ABC onde o ângulo A mede 40° e o ângulo B mede 65°. O nosso objetivo é descobrir a razão entre os dois maiores ângulos que são formados quando as três alturas desse triângulo se encontram. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre triângulos, ângulos e as alturas (ou ortogonal) de um triângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor do terceiro ângulo do triângulo ABC. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180°. Então:
Então, os ângulos do triângulo são 40°, 65° e 75°.
Passo 3
As alturas de um triângulo são as linhas perpendiculares traçadas de cada vértice até o lado oposto. O ponto onde essas três alturas se encontram é chamado de ortocentro. No caso de triângulos acutângulos, como este (todos os ângulos são menores que 90°), o ortocentro está dentro do triângulo.
Passo 4
Quando as alturas se intersectam no ortocentro, elas formam vários ângulos ao seu redor. Queremos encontrar a razão entre os dois maiores desses ângulos.
Para isso, vamos lembrar que em um triângulo acutângulo, o ortocentro forma, com as alturas, ângulos complementares aos ângulos internos do triângulo.
Passo 5
Vamos chamar o ortocentro de H. Considerando os ângulos formados em H, temos:
- O ângulo formado pela altura de A e a altura de B é complementar ao ângulo C, ou seja, 180° - C.
- O ângulo formado pela altura de A e a altura de C é complementar ao ângulo B, ou seja, 180° - B.
- O ângulo formado pela altura de B e a altura de C é complementar ao ângulo A, ou seja, 180° - A.
Então, os ângulos em H são:
Passo 6
Agora, identificamos os dois maiores ângulos formados no ortocentro:
- 140°
- 115°
Passo 7
Para encontrar a razão entre esses dois maiores ângulos, dividimos um pelo outro:
Resposta
A razão entre os dois maiores ângulos formados pelas interseções das três alturas é de
.