Nos problemas de 1 a 23, classificar e resolver os sistemas.
l2 x+3 y+4 z=53 3 x+5 y-4 z=2 4 x+7 y-2 z=31

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema
2x + 3y + 4z = 53, 3x + 5y - 4z = 2, 4x + 7y - 2z = 31
O conteúdo aqui é classificação de sistemas lineares (possível e determinado, impossível ou indeterminado) e resolução via eliminação de Gauss (ou Regra de Cramer).

Passo 2

Para classificar, montamos a matriz dos coeficientes
A = 2 & 3 & 4 3 & 5 & -4 4 & 7 & -2
e calculamos seu determinante. Usando expansão pela primeira linha:
det(A) =2l(5cdot(-2)-(-4)cdot7r) -3l(3cdot(-2)-(-4)cdot4r) +4l(3cdot7-5cdot4r)
Calculando cada parte:
5cdot(-2)-(-4)cdot7=-10+28=18, 3cdot(-2)-(-4)cdot4=-6+16=10, 3cdot7-5cdot4=21-20=1
Logo
det(A)=2cdot18-3cdot10+4cdot1=36-30+4=10neq0

Passo 3

Como det(A)neq0, o sistema é possível e determinado (SPD), ou seja, existe uma única solução.

Passo 4

Vamos resolver por eliminação de Gauss usando combinações lineares das equações:
  1. Multiplicando a primeira equação por 2 e subtraindo da terceira:
2cdot(2x+3y+4z)=106, (4x+7y-2z)=31
(4x+6y+8z)-(4x+7y-2z)=106-31 ;Longrightarrow;-y+10z=75 ;Longrightarrow;y=10z-75
  1. Multiplicando a primeira equação por 3 e subtraindo o dobro da segunda:
3cdot(2x+3y+4z)=159, 2cdot(3x+5y-4z)=4
(6x+9y+12z)-(6x+10y-8z)=159-4 ;Longrightarrow;-y+20z=155 ;Longrightarrow;y=20z-155
  1. Igualando as duas expressões para y:
10z-75=20z-155 ;Longrightarrow;10z=80 ;Longrightarrow;z=8
  1. Substituindo z=8 em y=10z-75:
y=10cdot8-75=80-75=5
  1. Finalmente, na primeira equação:
2x+3cdot5+4cdot8=53 ;Longrightarrow;2x+15+32=53 ;Longrightarrow;2x=6 ;Longrightarrow;x=3

Resposta

O sistema é possível e determinado (SPD) e sua solução é
x=3, y=5, z=8

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