Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais exatas juntos! A gente tem a seguinte equação:
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função cuja derivada nos dá essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação:
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
. Ou seja, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos lá:
E:
Passo 5
Vemos que:
Como são iguais, a equação é exata!
Passo 6
Com isso, sabemos que existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que vamos determinar.
Passo 7
Integrando
:
Vamos separar a integral:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Agora, vamos usar a segunda condição
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar de
.
Passo 9
Finalmente, a função
fica:
Como queremos que
, podemos escrever a solução geral da equação como:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: