Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
e^x^3(3 x^2 y-x^2) d x+e^x^3 d y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equações diferenciais exatas juntos! A gente tem a seguinte equação:
e^x^3(3 x^2 y - x^2) dx + e^x^3 dy = 0
O conteúdo aqui é sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função cuja derivada nos dá essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) e N(x, y) na equação:
M(x, y) = e^x^3(3x^2y - x^2)
N(x, y) = e^x^3

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa ver se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x . Ou seja, precisamos calcular partial Mpartial y e partial Npartial x .

Passo 4

Vamos lá:
partial Mpartial y = partialpartial y [ e^x^3(3x^2y - x^2) ] = e^x^3 cdot 3x^2
E:
partial Npartial x = partialpartial x [ e^x^3 ] = e^x^3 cdot 3x^2

Passo 5

Vemos que:
partial Mpartial y = e^x^3 cdot 3x^2
partial Npartial x = e^x^3 cdot 3x^2
Como são iguais, a equação é exata!

Passo 6

Com isso, sabemos que existe uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = M(x, y)
partial Phipartial y = N(x, y)
Vamos encontrar Phi(x, y) integrando M(x, y) em relação a x :
Phi(x, y) = integral M(x, y) dx + g(y)
Onde g(y) é uma função de y que vamos determinar.

Passo 7

Integrando M(x, y) :
Phi(x, y) = integral e^x^3(3x^2y - x^2) dx + g(y)
Vamos separar a integral:
Phi(x, y) = 3y integral e^x^3x^2 dx - integral e^x^3x^2 dx + g(y)
Sabemos que integral e^x^3x^2 dx = 13 e^x^3 + C , então:
Phi(x, y) = 3y ( 13 e^x^3 ) - ( 13 e^x^3 ) + g(y)
Phi(x, y) = y e^x^3 - 13 e^x^3 + g(y)

Passo 8

Agora, vamos usar a segunda condição partial Phipartial y = N(x, y) :
partial Phipartial y = e^x^3 + g'(y) = e^x^3
Isso implica que g'(y) = 0 , então g(y) é uma constante. Vamos chamar de C .

Passo 9

Finalmente, a função Phi(x, y) fica:
Phi(x, y) = y e^x^3 - 13 e^x^3 + C
Como queremos que Phi(x, y) = constante , podemos escrever a solução geral da equação como:
y e^x^3 - 13 e^x^3 = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y e^x^3 - 13 e^x^3 = C

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