Resolva a seguintes EDOs, usando séries de Potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando séries de potências! A equação que temos é:
Vamos precisar entender como representar a solução
como uma série de potências, ou seja, uma soma infinita de termos envolvendo
elevados a diferentes potências. Isso nos ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências centrada em
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 5
Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de
. Vamos fazer uma mudança de índice para que todas as somas comecem em
:
Para o termo de
:
Substitua por
:
Substitua
Para o termo com
:
Multiplicamos por e substituímos
por
:
Multiplicamos por
Já o termo de
permanece:
Passo 6
Agora, combinamos todas as somas:
Para que essa equação seja válida para todo
, o coeficiente de cada
deve ser zero:
Passo 7
Resolvemos essa relação de recorrência para
:
Isso nos permite encontrar cada coeficiente
em termos de
e
.
Passo 8
Precisamos de condições iniciais para determinar os coeficientes. Geralmente, assumimos
e
como constantes arbitrárias (por exemplo,
e
), já que a solução geral de uma EDO de segunda ordem terá duas constantes.
Então, com
e
definidos, podemos usar a relação de recorrência para encontrar todos os demais
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
usando séries de potências é dada por:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.