Resolva a seguintes EDOs, usando séries de Potências:
y^prime prime(x)-13 x y^prime(x)+(13-33) y(x)=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) usando séries de potências! A equação que temos é:
y''(x) - 13x, y'(x) - 20, y(x) = 0
Vamos precisar entender como representar a solução y(x) como uma série de potências, ou seja, uma soma infinita de termos envolvendo x elevados a diferentes potências. Isso nos ajuda a encontrar soluções aproximadas para equações complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução y(x) pode ser escrita como uma série de potências centrada em x = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Aqui, an são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de y(x) :
Primeira derivada:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
Segunda derivada:
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos y(x) , y'(x) e y''(x) na equação original:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 - 13x ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) - 20 sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Vamos ajustar os índices das somas para que todas tenham o mesmo expoente de x . Vamos fazer uma mudança de índice para que todas as somas comecem em n=0 :
Para o termo de y''(x) :
Substitua n por n+2 :
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n
Para o termo com y'(x) :
Multiplicamos por x e substituímos n por n :
-13 sumn=0^infty (n+1) an+1 x^n
Já o termo de y(x) permanece:
-20 sumn=0^infty an x^n

Passo 6

Agora, combinamos todas as somas:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 - 13(n+1) an+1 - 20 an ] x^n = 0
Para que essa equação seja válida para todo x , o coeficiente de cada x^n deve ser zero:
(n+2)(n+1) an+2 - 13(n+1) an+1 - 20 an = 0

Passo 7

Resolvemos essa relação de recorrência para an+2 :
an+2 = 13(n+1) an+1 + 20 an(n+2)(n+1)
Isso nos permite encontrar cada coeficiente an+2 em termos de an+1 e an .

Passo 8

Precisamos de condições iniciais para determinar os coeficientes. Geralmente, assumimos a0 e a1 como constantes arbitrárias (por exemplo, a0 = C e a1 = D ), já que a solução geral de uma EDO de segunda ordem terá duas constantes.
Então, com a0 e a1 definidos, podemos usar a relação de recorrência para encontrar todos os demais an .

Resposta

A solução geral da equação diferencial y''(x) - 13x, y'(x) - 20, y(x) = 0 usando séries de potências é dada por:
y(x) = a0 ( 1 + 132 x + 13 cdot 152 cdot 3 cdot 4 x^2 + dots ) + a1 ( x + 134 x^2 + dots )
onde a0 e a1 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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