Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
-y^2t^2 d t+2 yt d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar se a equação diferencial
-y^2t^2 , dt + 2 yt , dy = 0
é exata e, se for, resolver ela. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma
M(t, y) , dt + N(t, y) , dy = 0
é exata se existir uma função Phi(t, y) tal que:
partial Phipartial t = M e partial Phipartial y = N
Para testar se é exata, verificamos se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
partial Mpartial y = partial Npartial t

Passo 3

Vamos identificar M(t, y) e N(t, y) na nossa equação:
M(t, y) = -y^2t^2 e N(t, y) = 2 yt
Agora, calculamos as derivadas parciais:
  1. Derivada parcial de M em relação a y :
partial Mpartial y = partialpartial y ( -y^2t^2 ) = -2 yt^2
  1. Derivada parcial de N em relação a t :
partial Npartial t = partialpartial t ( 2 yt ) = -2 yt^2

Passo 4

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
partial Mpartial y = -2 yt^2 e partial Npartial t = -2 yt^2
Como elas são iguais, isso significa que a equação diferencial é exata. Então, podemos proceder para resolver a equação.

Passo 5

Para resolver a equação exata, precisamos encontrar uma função Phi(t, y) tal que:
partial Phipartial t = M(t, y) = -y^2t^2
Vamos integrar M(t, y) em relação a t :
Phi(t, y) = integral -y^2t^2 , dt = y^2 cdot 1t + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece pela integração.

Passo 6

Agora, derivamos Phi(t, y) em relação a y e igualamos a N(t, y) :
partial Phipartial y = 2 y cdot 1t + h'(y) = 2 yt
Comparando com N(t, y) = 2 yt , vemos que:
h'(y) = 0
Integrando, temos:
h(y) = C
onde C é uma constante.

Passo 7

Então, a função Phi(t, y) é:
Phi(t, y) = y^2t + C
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos Phi(t, y) a uma constante:
y^2t = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y^2t = C
onde C é uma constante.

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