Nos Problemas 5.24 a 5.40, teste se as equações diferenciais são exatas e resolva aquelas que o são.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para testar se a equação diferencial
é exata e, se for, resolver ela. Isso está dentro do conteúdo de Equações Diferenciais, mais especificamente sobre equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função que satisfaça a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial exata. Uma equação na forma
é exata se existir uma função
tal que:
Para testar se é exata, verificamos se as derivadas parciais cruzadas são iguais:
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa equação:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
- Derivada parcial de
em relação a :
- Derivada parcial de
em relação a :
Passo 4
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Como elas são iguais, isso significa que a equação diferencial é exata. Então, podemos proceder para resolver a equação.
Passo 5
Para resolver a equação exata, precisamos encontrar uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece pela integração.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando com
, vemos que:
Integrando, temos:
onde
é uma constante.
Passo 7
Então, a função
é:
Para encontrar a solução geral da equação diferencial, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
onde
é uma constante.