Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''+y=\sin x
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações dadas (explicitadas):
  • A equação é linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \sin x.
  • Precisa-se aplicar variação dos parâmetros (logo vamos procurar uma solução particular do tipo y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x) onde y_1,y_2 são soluções da homogênea).

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''+y=0.
Para resolver, montamos a equação característica \lambda^2+1=0, cujas raízes são \lambda=\pm i. Isso implica que as soluções fundamentais da homogênea são as funções trigonométricas clássicas:
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
Assim a solução complementar (solução geral da homogênea) é
y_c(x)=C_1\cos x+C_2\sin x,
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação extra curta (porque isso aparece sempre em provas): a equação característica aparece ao assumir y=e^{\lambda x}. Raízes complexas conjugadas geram combinações de \cos e \sin.

Passo 3

No método da variação dos parâmetros precisamos do Wronskiano das soluções fundamentais para garantir que elas são linearmente independentes e para usar as fórmulas do método.
Calculemos o Wronskiano W(x) de y_1 e y_2:
W(x)=\begin{vmatrix}\cos x & \sin x\\\\ -\sin x & \cos x\end{vmatrix} =\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)=\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Como W(x)=1\neq0 para todo x, y_1 e y_2 formam um conjunto fundamental em todo \mathbb{R} e as fórmulas da variação dos parâmetros valem globalmente.

Passo 4

Agora aplicamos variação dos parâmetros. A ideia é buscar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1,u_2\) são funções a determinar. Para reduzir as equações, impomos a condição auxiliar \[u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Com isso, ao substituir em y''+y=\sin x obtemos o sistema linear para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\sin x. \end{cases}
Aqui explico o que cada símbolo significa:
  • y_1,y_2\] são as soluções fundamentais (\(\cos x,\sin x);
  • y_1',y_2' são suas derivadas ( -\sin x,\cos x);
  • \sin x é o termo não-homogêneo g(x) da equação padrão y''+p(x)y'+q(x)y=g(x) (aqui p(x)=0, q(x)=1).
    Esse sistema pode ser resolvido por Cramer; usando o Wronskiano W=1 as fórmulas ficam simples:
u_1'(x)=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)}=-g(x)y_2(x), \qquad u_2'(x)=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)}=g(x)y_1(x).]

Passo 5

Substituímos g(x)=\sin x, y_1=\cos x, y_2=\sin x nas fórmulas:
u_1'(x)=-\sin x\cdot\sin x=-\sin^2 x, \qquad u_2'(x)=\sin x\cdot\cos x.
Agora integramos para obter u_1,u_2. Integração de u_1':
u_1(x)=\int -\sin^2 x\,dx.
Usamos a identidade trigonométrica \sin^2 x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}. Assim
u_1(x)=-\int \frac{1-\cos 2x}{2}\,dx =-\left(\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right) =-\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}.
(Quando se determina uma solução particular, constantes de integração podem ser tomadas zero porque qualquer constante multiplicada por y_1 ou y_2 será absorvida na solução complementar.)
Integração de u_2':
u_2(x)=\int \sin x\cos x\,dx.
Usamos \sin x\cos x=\dfrac{\sin 2x}{2}. Então
u_2(x)=\int \frac{\sin 2x}{2}\,dx =-\frac{\cos 2x}{4}.
(Novamente descartamos a constante de integração por razão já explicada.)

Passo 6

Construímos y_p=u_1y_1+u_2y_2. Substituindo:
y_p(x)=\Big(-\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\Big)\cos x +\Big(-\frac{\cos 2x}{4}\Big)\sin x.
Vamos simplificar termo a termo. Primeiro escrevemos \sin 2x=2\sin x\cos x e \cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.
O primeiro termo:
\Big(-\frac{x}{2}\Big)\cos x + \frac{\sin 2x}{4}\cos x =-\frac{x}{2}\cos x + \frac{2\sin x\cos x}{4}\cos x =-\frac{x}{2}\cos x + \frac{\sin x\cos^2 x}{2}.
O segundo termo:
-\frac{\cos 2x}{4}\sin x =-\frac{1}{4}\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x) =-\frac{1}{4}\sin x\cos^2 x + \frac{1}{4}\sin^3 x.
Somando os dois blocos:
y_p(x)=-\frac{x}{2}\cos x +\Big(\frac{\sin x\cos^2 x}{2}-\frac{\sin x\cos^2 x}{4}\Big) +\frac{1}{4}\sin^3 x.
Combine os coeficientes de \sin x\cos^2 x: \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{4}. Então
y_p(x)=-\frac{x}{2}\cos x + \frac{1}{4}\sin x\cos^2 x + \frac{1}{4}\sin^3 x.
Agora observe que \cos^2 x+\sin^2 x=1, então
\frac{1}{4}\sin x\cos^2 x + \frac{1}{4}\sin^3 x =\frac{1}{4}\sin x(\cos^2 x+\sin^2 x) =\frac{1}{4}\sin x.
Portanto a forma simplificada é
y_p(x)=-\frac{x}{2}\cos x + \frac{1}{4}\sin x.

Passo 7

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução complementar com a particular:
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac{x}{2}\cos x+\frac{1}{4}\sin x.
Podemos reorganizar se quisermos (por exemplo agrupar os termos em \sin x), mas a forma acima já deixa claro a decomposição entre a parte homogênea e a parte particular.
Intervalo de validade: como o Wronskiano é W(x)=1\neq0 em todo \mathbb{R}, a solução geral é válida em qualquer intervalo aberto contido em (-\infty,\infty). Em outras palavras, a solução é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x)=C_1\cos x+C_2\sin x-\dfrac{x}{2}\cos x+\dfrac{1}{4}\sin x
Intervalo de validade: x\in(-\infty,\infty)

Exercícios relacionados