Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}+y=\cos ^{2} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''+y=\cos^{2}x
e pede para resolver usando o método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações fornecidas:
  • A equação é linear de segunda ordem não homogênea.
  • O termo não homogêneo é \cos^{2}x.
O objetivo é encontrar a solução geral y(x) usando variação dos parâmetros e indicar um intervalo onde essa solução vale.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto é obrigatoriamente o primeiro passo em variação dos parâmetros):
y''+y=0.
Para resolver, procuramos soluções da forma e^{rx}. A equação característica é
r^{2}+1=0,
cuja solução é r=\pm i. Isso gera as duas soluções reais independentes
u_1(x)=\cos x,\qquad u_2(x)=\sin x.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Explicação rápida (didática): as funções \cos x e \sin x formam um par fundamental de soluções porque são linearmente independentes e satisfazem a homogênea. No método da variação dos parâmetros vamos construir uma solução particular usando exatamente essas duas funções.

Passo 3

Apresento a fórmula de variação dos parâmetros (e explico cada pedaço):
Se tivermos uma equação da forma
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),
e u_1,u_2 forem um par fundamental da homogênea, então uma solução particular pode ser escrita como
y_p=-u_1(x)\int \frac{u_2(x)\,r(x)}{W(x)}\,dx + u_2(x)\int \frac{u_1(x)\,r(x)}{W(x)}\,dx,
onde W(x) é o Wronskiano definido por
W(x)=u_1(x)u_2'(x)-u_1'(x)u_2(x).
Aqui:
  • u_1,u_2 são as soluções da homogênea já encontradas;
  • r(x) é o termo não homogêneo;
  • W(x) evita divisões por zero (se W\neq0 na região, a fórmula vale).
No nosso caso p(x)=0, q(x)=1 e r(x)=\cos^{2}x. Usando u_1=\cos x e u_2=\sin x, calculemos o Wronskiano:
W(x)=\cos x\cdot (\sin x)' - (\cos x)'\cdot \sin x = \cos x\cdot\cos x - (-\sin x)\cdot\sin x = \cos^{2}x + \sin^{2}x = 1.
Observação: W(x)=1 para todo x, então não há problemas de divisão; isso também indica que u_1,u_2 são independentes em toda a reta real.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula com W=1 e r(x)=\cos^{2}x:
y_p=-\cos x\int \sin x\cdot\cos^{2}x\,dx + \sin x\int \cos x\cdot\cos^{2}x\,dx.
Precisamos calcular as duas integrais. Faço uma por vez, mostrando substituições claras.
Integral A:
I_1=\int \sin x\cos^{2}x\,dx.
Use a substituição u=\cos x. Então du=-\sin x\,dx, logo
I_1=\int \sin x\cos^{2}x\,dx = -\int u^{2}\,du = -\frac{u^{3}}{3} + C = -\frac{\cos^{3}x}{3} + C.
Como constantes de integração são absorvidas na solução homogênea, podemos ignorar C ao construir y_p.
Integral B:
I_2=\int \cos^{3}x\,dx = \int \cos x\cdot\cos^{2}x\,dx.
Use v=\sin x. Então dv=\cos x\,dx, e \cos^{2}x=1-\sin^{2}x = 1-v^{2}. Assim
I_2=\int (1-v^{2})\,dv = v - \frac{v^{3}}{3} + C = \sin x - \frac{\sin^{3}x}{3} + C.
Novamente desprezamos a constante C por estar na homogênea.
Substituindo I_1 e I_2 em y_p:
y_p = -\cos x\left(-\frac{\cos^{3}x}{3}\right) + \sin x\left(\sin x - \frac{\sin^{3}x}{3}\right).
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
y_p = \frac{\cos^{4}x}{3} + \sin^{2}x - \frac{\sin^{4}x}{3}.
Reorganizando termos:
y_p = \sin^{2}x + \frac{1}{3}\bigl(\cos^{4}x - \sin^{4}x\bigr).
Note que \cos^{4}x - \sin^{4}x=(\cos^{2}x-\sin^{2}x)(\cos^{2}x+\sin^{2}x)=\cos 2x\cdot 1=\cos 2x. Então
y_p = \sin^{2}x + \frac{1}{3}\cos 2x.
É conveniente escrever \sin^{2}x em termos de \cos 2x usando a identidade \sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}. Assim
y_p = \frac{1-\cos 2x}{2} + \frac{1}{3}\cos 2x = \frac{1}{2} +\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\cos 2x.
Comentário didático: verificar é rápido: se y_p=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\cos 2x, então y_p''+y_p \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2x=\cos^{2}x, confirmando que está correta.

Passo 5

A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\cos 2x.
Intervalo de validade: todas as funções envolvidas ( \cos x, \sin x, \cos^{2}x) são contínuas em toda a reta real e o Wronskiano vale 1 para todo x. Portanto a solução geral é válida em qualquer intervalo onde as funções são definidas — ou seja, para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6}\cos 2x

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