Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver usando o método da variação dos parâmetros e definir um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Informações fornecidas:
- A equação é linear de segunda ordem não homogênea.
- O termo não homogêneo é
.
O objetivo é encontrar a solução geral
usando variação dos parâmetros e indicar um intervalo onde essa solução vale.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (isto é obrigatoriamente o primeiro passo em variação dos parâmetros):
Para resolver, procuramos soluções da forma
. A equação característica é
cuja solução é
. Isso gera as duas soluções reais independentes
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Explicação rápida (didática): as funções
e
formam um par fundamental de soluções porque são linearmente independentes e satisfazem a homogênea. No método da variação dos parâmetros vamos construir uma solução particular usando exatamente essas duas funções.
Passo 3
Apresento a fórmula de variação dos parâmetros (e explico cada pedaço):
Se tivermos uma equação da forma
Se tivermos uma equação da forma
e
forem um par fundamental da homogênea, então uma solução particular pode ser escrita como
onde
é o Wronskiano definido por
Aqui:
-
são as soluções da homogênea já encontradas; -
é o termo não homogêneo; -
evita divisões por zero (se na região, a fórmula vale).
No nosso caso
,
e
. Usando
e
, calculemos o Wronskiano:
Observação:
para todo
, então não há problemas de divisão; isso também indica que
são independentes em toda a reta real.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula com
e
:
Precisamos calcular as duas integrais. Faço uma por vez, mostrando substituições claras.
Integral A:
Use a substituição
. Então
, logo
Como constantes de integração são absorvidas na solução homogênea, podemos ignorar
ao construir
.
Integral B:
Use
. Então
, e
. Assim
Novamente desprezamos a constante
por estar na homogênea.
Substituindo
e
em
:
Agora desenvolvemos e simplificamos passo a passo:
Reorganizando termos:
Note que
. Então
É conveniente escrever
em termos de
usando a identidade
. Assim
Comentário didático: verificar é rápido: se
, então
dá
, confirmando que está correta.
Passo 5
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
Intervalo de validade: todas as funções envolvidas (
,
,
) são contínuas em toda a reta real e o Wronskiano vale
para todo
. Portanto a solução geral é válida em qualquer intervalo onde as funções são definidas — ou seja, para todo
.