Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações dadas:
- Equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
- Segundo membro (forçamento) é
. - Não há outras restrições no enunciado (domínio implícito: valores reais de
).
O objetivo: encontrar a solução geral
(solução homogênea + uma particular encontrada por variação de parâmetros) e indicar o intervalo de validade da solução.
Passo 2
Resolvo primeiro a equação homogênea associada:
Esta é uma equação com coeficientes constantes; escrevemos a equação característica substituindo
:
Calculando as raízes:
Para uma raiz dupla
, uma base de soluções fundamentais é
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes.
Passo 3
Agora aplico o método da variação dos parâmetros para achar uma solução particular
onde
são funções a determinar. Para determinar
e
impomos o sistema padrão
Explico por que: esta condição elimina segundas derivadas extras ao derivar
e
.
Agora escrevo as derivadas das soluções fundamentais:
Passo 4
Substituo
Divido ambas as equações por
) para simplificar:
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se diretamente (u_2’]:
Então
]
Então
Passo 5
Integro
para obter
. Preciso calcular
Integração conhecida (ou por partes): uma primitiva de
é
Como constantes de integração serão absorvidas na solução homogênea, tomo a primitiva sem constante:
Passo 6
Agora integro
. Calculo
Faço a integral
por partes: tomo
(logo
) e
(logo
). Assim
Simplifico o integrando:
logo
Portanto
Com o sinal negativo:
Novamente desprezo a constante de integração porque ela se incorpora em
.
Passo 7
Agora monto a solução particular
. Substituo
e
:
Calculo
. Usando as expressões obtidas:
Somando:
Agrupando termos em
e em
:
Logo
Passo 8
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Posso factorar
se desejar:
Intervalo de validade: os coeficientes da equação são constantes (logo contínuos em
) e o termo forçante
é contínuo para todo
. As funções que apareceram na solução particular (
e
) também estão definidas e contínuas para todo
. Portanto a solução geral é válida em todo o intervalo real:
Resposta
Intervalo de validade: