Nos Problemas 1-24, resolva cada equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. Defina um intervalo no qual a solução geral seja válida.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \operatorname{arctg} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-2y'+y = e^{x}\operatorname{arctg}x
pelo método da variação dos parâmetros e definir um intervalo onde a solução geral seja válida.
Informações dadas:
  • Equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes.
  • Segundo membro (forçamento) é \displaystyle e^{x}\operatorname{arctg}x.
  • Não há outras restrições no enunciado (domínio implícito: valores reais de x).
O objetivo: encontrar a solução geral y(x) (solução homogênea + uma particular encontrada por variação de parâmetros) e indicar o intervalo de validade da solução.

Passo 2

Resolvo primeiro a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Esta é uma equação com coeficientes constantes; escrevemos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^2-2r+1=0.
Calculando as raízes:
r^2-2r+1=(r-1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=1\\ \text{(raiz dupla)}.
Para uma raiz dupla r=1, uma base de soluções fundamentais é
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=x e^{x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 x e^{x},
onde C_1,C_2 são constantes.

Passo 3

Agora aplico o método da variação dos parâmetros para achar uma solução particular y_p\). A ideia é buscar \[y_p=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Para determinar u_1 e u_2 impomos o sistema padrão
\begin{cases} u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,\\[4pt] u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\; \text{termo direito } = e^{x}\operatorname{arctg}x. \end{cases}
Explico por que: esta condição elimina segundas derivadas extras ao derivar y_p\], deixando um sistema linear de duas equações para \(u_1' e u_2'.
Agora escrevo as derivadas das soluções fundamentais:
y_1(x)=e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_1'(x)=e^{x},
y_2(x)=x e^{x}\quad\Rightarrow\quad y_2'(x)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).]

Passo 4

Substituo y_1,y_2\) e suas derivadas no sistema imposto. O sistema fica: \[\begin{cases} u_1' e^{x} + u_2' x e^{x}=0,\\[4pt] u_1' e^{x} + u_2' e^{x}(1+x)= e^{x}\operatorname{arctg}x. \end{cases}
Divido ambas as equações por e^{x}\] (não é zero para nenhum \[x) para simplificar:
\begin{cases} u_1' + x u_2' = 0,\\[4pt] u_1' + (1+x) u_2' = \operatorname{arctg}x. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda obtém-se diretamente (u_2’]:
\big(u_1' + (1+x)u_2'\big)-\big(u_1'+x u_2'\big)=u_2'=\operatorname{arctg}x.
Então
u_2'(x)=\operatorname{arctg}x, \qquad u_1'(x)=-x\,u_2'(x)=-x\,\operatorname{arctg}x.]

Passo 5

Integro u_2' para obter u_2. Preciso calcular
u_2(x)=\int \operatorname{arctg}x\,dx.
Integração conhecida (ou por partes): uma primitiva de \operatorname{arctg}x é
\int \operatorname{arctg}x\,dx = x\operatorname{arctg}x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}) + C.
Como constantes de integração serão absorvidas na solução homogênea, tomo a primitiva sem constante:
u_2(x)=x\operatorname{arctg}x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2}).

Passo 6

Agora integro u_1'=-x\operatorname{arctg}x. Calculo
u_1(x)=-\int x\operatorname{arctg}x\,dx.
Faço a integral \displaystyle \int x\operatorname{arctg}x\,dx por partes: tomo v=\operatorname{arctg}x (logo dv=\dfrac{dx}{1+x^{2}}) e dw=x\,dx (logo w=\dfrac{x^{2}}{2}). Assim
\int x\operatorname{arctg}x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx.
Simplifico o integrando:
\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=1-\frac{1}{1+x^{2}},
logo
\int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int\Big(1-\frac{1}{1+x^{2}}\Big)\,dx = \frac{1}{2}\Big(x-\operatorname{arctg}x\Big).
Portanto
\int x\operatorname{arctg}x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x - \frac{1}{2}\Big(x-\operatorname{arctg}x\Big) = \frac{1+x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x - \frac{x}{2}.
Com o sinal negativo:
u_1(x)=-\int x\operatorname{arctg}x\,dx = -\frac{1+x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x + \frac{x}{2}.
Novamente desprezo a constante de integração porque ela se incorpora em C_1,C_2.

Passo 7

Agora monto a solução particular y_p=u_1 y_1 + u_2 y_2. Substituo y_1=e^{x} e y_2=x e^{x}:
y_p(x)=u_1(x)e^{x}+u_2(x)\,x e^{x}=e^{x}\big(u_1(x)+x\,u_2(x)\big).
Calculo u_1+xu_2. Usando as expressões obtidas:
u_1(x)=-\tfrac{1+x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x + \tfrac{x}{2},
x u_2(x)=x\Big(x\operatorname{arctg}x - \tfrac{1}{2}\ln(1+x^{2})\Big)=x^{2}\operatorname{arctg}x - \tfrac{x}{2}\ln(1+x^{2}).
Somando:
u_1+xu_2 = \Big(-\tfrac{1+x^{2}}{2}\operatorname{arctg}x + \tfrac{x}{2}\Big) + \Big(x^{2}\operatorname{arctg}x - \tfrac{x}{2}\ln(1+x^{2})\Big).
Agrupando termos em \operatorname{arctg}x e em x:
u_1+xu_2 = \tfrac{1}{2}(x^{2}-1)\operatorname{arctg}x + \tfrac{x}{2}\big(1-\ln(1+x^{2})\big).
Logo
y_p(x)=e^{x}\left[\tfrac{1}{2}(x^{2}-1)\operatorname{arctg}x + \tfrac{x}{2}\big(1-\ln(1+x^{2})\big)\right].

Passo 8

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{x}+C_2 x e^{x} + e^{x}\left[\tfrac{1}{2}(x^{2}-1)\operatorname{arctg}x + \tfrac{x}{2}\big(1-\ln(1+x^{2})\big)\right].
Posso factorar e^{x} se desejar:
y(x)=e^{x}\left[C_1 + C_2 x + \tfrac{1}{2}(x^{2}-1)\operatorname{arctg}x + \tfrac{x}{2}\big(1-\ln(1+x^{2})\big)\right].
Intervalo de validade: os coeficientes da equação são constantes (logo contínuos em \mathbb{R}) e o termo forçante \displaystyle e^{x}\operatorname{arctg}x é contínuo para todo x\in\mathbb{R}. As funções que apareceram na solução particular ( \operatorname{arctg}x e \ln(1+x^{2})) também estão definidas e contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Portanto a solução geral é válida em todo o intervalo real:
(-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=e^{x}\left[C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{2}(x^{2}-1)\operatorname{arctg}x+\tfrac{x}{2}\big(1-\ln(1+x^{2})\big)\right], C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
Intervalo de validade: (-\infty,\infty).

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